Este parece ser un buen lugar para describir una manera simple, rápida y más que razonablemente precisa de calcular pendientes para un DEM globalmente extenso .
Principios
Recuerde que la pendiente de una superficie en un punto es esencialmente la relación más grande de "ascenso" a "recorrido" encontrada en todos los posibles rodamientos desde ese punto. El problema es que cuando una proyección tiene distorsión de escala, los valores de "ejecución" se calcularán incorrectamente. Peor aún, cuando la distorsión de la escala varía con el rumbo, que es el caso con todas las proyecciones que no son conformes, la forma en que la pendiente varía con el rumbo se calculará incorrectamente, evitando la identificación precisa de la relación máxima de aumento: carrera (y sesgando el cálculo del aspecto).
Podemos resolver esto usando una proyección conforme para asegurar que la distorsión de la escala no varíe con el rumbo, y luego corrigiendo las estimaciones de la pendiente para tener en cuenta la distorsión de la escala (que varía de un punto a otro en todo el mapa). El truco consiste en utilizar una proyección conforme global que permita una expresión simple para su distorsión de escala.
La proyección de Mercator se ajusta al proyecto de ley: suponiendo que la escala sea correcta en el ecuador, su distorsión es igual a la secante de la latitud. Es decir, las distancias en el mapa parecen multiplicarse por la secante. Esto hace que cualquier cálculo de pendiente calcule el aumento: (sec (f) * run) (que es una relación), donde f es la latitud. Para corregir esto, necesitamos multiplicar las pendientes calculadas por sec (f); o, de manera equivalente, divídalos por cos (f). Esto nos da la receta simple:
Calcule la pendiente (como aumento: carrera o porcentaje) usando una proyección de Mercator, luego divida el resultado por el coseno de la latitud.
Flujo de trabajo
Para hacer esto con una cuadrícula dada en grados decimales (como un SRTM DEM), realice los siguientes pasos:
Crea una cuadrícula de latitud. (Esto es solo la cuadrícula de coordenadas y).
Calcule su coseno.
Proyecte tanto el DEM como el coseno de la latitud utilizando una proyección de Mercator en la que la escala sea verdadera en el ecuador.
Si es necesario, convierta las unidades de elevación para que estén de acuerdo con las unidades de las coordenadas proyectadas (generalmente metros).
Calcule la pendiente del DEM proyectado como una pendiente pura o un porcentaje ( no como un ángulo).
Divida esta pendiente por la cuadrícula del coseno (latitud) proyectada.
Si lo desea, reproyecte la cuadrícula de pendiente a cualquier otro sistema de coordenadas para su posterior análisis o mapeo.
Los errores en los cálculos de la pendiente serán de hasta 0.3% (porque este procedimiento utiliza un modelo de tierra esférica en lugar de uno elipsoidal, que se aplana en un 0.3%). Ese error es sustancialmente más pequeño que otros errores que entran en los cálculos de la pendiente y, por lo tanto, se pueden descuidar.
Cálculos totalmente globales.
La proyección de Mercator no puede manejar ninguno de los polos. Para el trabajo en regiones polares, considere usar una proyección estereográfica polar con escala real en el polo. La distorsión de la escala es igual a 2 / (1 + sin (f)). Use esta expresión en lugar de sec (f) en el flujo de trabajo. Específicamente, en lugar de calcular una cuadrícula de coseno (latitud), calcule una cuadrícula cuyos valores son (1 + sin (latitud)) / 2 ( editar : use -latitud para el Polo Sur, como se discutió en los comentarios). Luego proceda exactamente como antes.
Para obtener una solución global completa, considere dividir la cuadrícula terrestre en tres partes, una alrededor de cada polo y otra alrededor del ecuador, realizando un cálculo de pendiente por separado en cada parte utilizando una proyección adecuada y haciendo un mosaico de los resultados. Un lugar razonable para dividir el globo es a lo largo de círculos de latitud en latitudes de 2 * ArcTan (1/3), que es de aproximadamente 37 grados, porque en estas latitudes los factores de corrección de Mercator y estereográficos son iguales entre sí (tienen un valor común de 5/4) y sería bueno minimizar el tamaño de las correcciones realizadas. Como verificación de los cálculos, las cuadrículas deben estar muy de acuerdo donde se superponen (pequeñas cantidades de imprecisión de punto flotante y diferencias debido al remuestreo de las cuadrículas proyectadas deberían ser las únicas fuentes de discrepancias).
Referencias
John P. Snyder, Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo . USGS Professional Paper 1395, 1987.