¿Por qué el posicionamiento GPS requiere cuatro satélites?

Tengo una pregunta sobre el algoritmo de posicionamiento GPS. En todos los libros que he leído para posicionamiento 3D necesitamos cuatro satélites, y no entiendo por qué.

Necesitamos calcular tres variables: x, y, z. Sabemos cuándo el satélite envía la señal a la tierra y cuando la recibimos podemos medir el tiempo que la señal viaja a la tierra al verificar el cambio en el generador PRN. ¿Para qué necesitamos cuatro satélites?

Solo un gráfico para agregar a la respuesta de M'vy .

De Geocommon s:

Esto es una versión de alta tecnología de triangulación,llamado trilateración El primer satélite te ubica en algún lugar de una esfera (arriba a la izquierda de la Figura). El segundo satélite reduce su ubicación a un círculo creado por la intersección de las dos esferas de satélite (arriba a la derecha). El tercer satélite reduce la elección a dos puntos posibles (abajo a la izquierda). Finalmente, el cuarto satélite ayuda a calcular una sincronización de tiempo y corrección de ubicación y selecciona uno de los dos puntos restantes como su posición (abajo a la derecha).

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Como señala RK, esta no es una forma de triangulación. Incluso cuando el GPS está aprovechando más de 4 satélites, todavía está haciendo trilateración , a diferencia de la multilateración , que el GPS no utiliza.

La multilateración no debe confundirse con la trilateración, que usa distancias o mediciones absolutas del tiempo de vuelo desde tres o más sitios , o con triangulación, que usa la medición de ángulos absolutos. Ambos sistemas también se usan comúnmente con sistemas de radio navegación; La trilateración es la base del GPS.

Las razones principales por las que necesita un cuarto satélite son las correcciones de tiempo. Si conoce la posición exacta y la velocidad de los satélites, la trilateración le dará de hecho 2 puntos, pero generalmente será imposible o con una velocidad imposible. Pero un receptor GPS utiliza el tiempo que lleva recibir una señal de satélite para determinar la distancia a ese satélite. Incluso los errores menores en el tiempo de su receptor GPS causarán grandes errores y, por lo tanto, una gran banda de incertidumbre cuando solo tiene tres satélites.

Necesita cuatro satélites porque cada dato de un satélite lo coloca en una esfera alrededor del satélite. Al calcular las intersecciones, puede reducir las posibilidades a un solo punto.

La intersección de dos satélites te coloca en un círculo. (todos los puntos posibles)

La intersección de tres satélites te coloca en dos puntos posibles.

El último satélite te da la ubicación exacta.

Puede evitar el uso de cuatro satélites si ya conoce la altitud, por ejemplo, cuando conduce, puede usar el nivel del suelo como la última intersección. Pero no puedes hacer esto en un avión, ya que no estás atado al suelo.

En realidad, necesita determinar cuatro coordenadas a partir de los satélites, x, y, zyt, el tiempo.

No puede usar el reloj dentro del dispositivo, porque es demasiado inexacto. Es generado por un cristal de cuarzo, mientras que para la precisión deseada de unos pocos metros necesitaría un reloj atómico, como los utilizados en los satélites.

>> 3 satélites serían suficientes

Los sistemas de posicionamiento global suponen un 'sistema de coordenadas cartesianas 3D xyz centrado en la tierra, fijo en la tierra' . Cualquier ubicación en este espacio 3D requiere no más de 3 componentes para estar completamente identificados. Entonces, a pesar de que 3 esferas que obtenemos por 3 medidas de distancia se cruzan en dos puntos diferentes, uno de esos puntos queda inutilizado por la característica [ centrado en la tierra + fijo en la tierra ] del sistema de coordenadas que supone el GPS; Estamos interesados ​​en lugares debajo de la atmósfera terrestre. Se podrían utilizar 3 satélites para determinar las dimensiones de 3 posiciones con un reloj receptor 'perfecto' (con un costoso reloj atómico / óptico).

¡SÍ !, ¡tú! ¡Podrías haberlo conseguido! una posición en 3D fija con 3 satélites SI el receptor GPS que está utilizando estaba equipado con un reloj atómico. (La ELIMINACIÓN del segundo punto, en la figura inferior izquierda de la ilustración anterior, se realiza "intuitivamente", ya que corresponde a algún lugar en ESPACIO PROFUNDO. PORQUE , hay una razón por la cual los satélites GPS están en su constelación específica (~ su configuración en el cielo):! más de! 24 satélites GPS, en 6 planos orbitales que están ~ 20,000 kms por encima de usted, y 4 satélites en cada plano, 60 grados entre estos planos y 55 grados de inclinación con respecto al plano ecuatorial, LE DA 5-8 satélites a los que puede "conectarse" desde (casi) cualquier lugar de la tierra, y 3 SATÉLITES PARA DAR UN ARREGLO POSICIONAL 3D EN LA TIERRA. Si estamos hablando de ubicar cosas "dentro y fuera" de la Tierra, BIEN ENTONCES SÍ, necesita al menos 1 satélite más para eliminar uno de los dos posibles puntos de intersección en el último paso. Esta no era la pregunta, ¿verdad?

En la práctica, rara vez es posible / factible colocar relojes caros en receptores GPS y, en cambio, se pueden usar 3 vehículos espaciales (SV, es decir, satélites) para calcular una fijación horizontal 2D (en latitud y longitud) cuando una cierta altura (por ejemplo, z -dimensión) la medida se ASUME; por lo que elimina las medidas unidimensionales de las 4 que se requerían originalmente. La altura supuesta puede ser el nivel del mar o la altitud de un avión equipado con altímetro (normalmente).

Es la dimensión de altura la que se elige descartar, porque es la (relativamente) menos importante entre otras. Entre las 4 medidas dimensionales requeridas (x, y, z, tiempo), el tiempo siempre debe resolverse PORQUE las señales de satélite (ondas electromagnéticas) viajan a la velocidad de la luz y llegan al receptor en ~ 0.07 segundos atómicos; y por lo tanto, una ligera inexactitud en el reloj interno relativamente barato del receptor GPS daría una solución de ubicación "muy incorrecta" debido a la distancia adicional que se supone que viaja la señal a la velocidad extrema de la luz. Y, bueno, las otras dos dimensiones colocarán el receptor GPS en un par (longitud, latitud) en la superficie del planeta.

Más de 4 satélites proporcionan una mayor precisión al introducir 'pares de diferencia de tiempo' adicionales. Los requisitos de 4 dimensiones permanecen, pero el número de ecuaciones independientes aumenta y supera 4. Esto dará como resultado un sistema de ecuaciones sobredeterminado con múltiples soluciones. Los sistemas sobre determinados son ¡aproximados! con métodos numéricos, por ejemplo, mínimos cuadrados. En este caso, el método de mínimos cuadrados dará la posición (del receptor GPS) que mejor se adapte a todas las mediciones de tiempo (con dimensiones adicionales) al minimizar la suma de los cuadrados de errores.

(1) Descripción general del sistema de posicionamiento global, Peter H. Dana, Departamento de Geografía, Universidad de Texas en Austin, 1994.
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_f.html
(The Master GPS La instalación de control se encuentra en Colorado, Schriever Air Force Base)

(2) Determinación de posición con GPS, Dr. Anja Koehne, Michael Wößner, Öko-Institut (Instituto de Ecología Aplicada), Friburgo de Brisgovia, Alemania
http://www.kowoma.de/en/gps/positioning.htm

(3) Un sistema lineal subdeterminado para GPS, Dan Kalman
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Polya/Kalman.pdf

(4) Para las ilustraciones coloridas
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/figure09.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/ ecefxyz.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/gpsxyz.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/navigate.gif

>> inexactitud

" Normalmente, cuatro superficies de esferas NO se cruzan. Debido a esto, podemos decir con confianza que cuando resolvemos las ecuaciones de navegación para encontrar una intersección, esta solución nos da la posición del receptor junto con un tiempo preciso, eliminando así la necesidad de un , caro y con hambre de energía " .
http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Position_System#Basic_concept_of_GPS

Dice "típicamente" PORQUE las mediciones son inexactas; de lo contrario se cruzarían exactamente en un punto. De 4 satélites, obtiene 4 mediciones de distancia inexactas. La precisión de IN en todas estas 4 mediciones es MISMA (= en la misma cantidad) PORQUE los satélites usan relojes atómicos que los mantienen perfectamente sincronizados entre sí (y precisos con respecto a la escala de tiempo del GPS), además, el reloj INaccurate en las mediciones sigue siendo el mismo , porque estamos hablando de un receptor GPS particular. Dado que los relojes precisos e INaccurate, y por lo tanto la INaccuracy, son constantes en nuestras mediciones, solo puede haber un valor de corrección que reduzca el volumen de intersección de 4 esferas en un solo punto de intersección. Ese valor representa el tiempo INaccuracy.

(5) El reloj UTC está actualmente (2012-11-14) 16 segundos detrás del reloj GPS.
http://www.leapsecond.com/java/gpsclock.htm

(6) Cómo se bloquea un receptor GPS, Thomas A. Clark, Centro de Vuelo Espacial Goddard de la NASA
http://gpsinformation.net/main/gpslock.htm

(7) ¿Cuán preciso es un reloj controlado por radio ?, Michael A Lombardi, División de Tiempo y Frecuencia NIST, Maryland
http://tf.nist.gov/general/pdf/2429.pdf

El cuarto satélite está allí solo para aumentar la precisión hasta un punto en el que sería utilizable. Aunque, con la trilateración 3D, esto no es necesario para calcular una ubicación. GPS, aunque requiere esto debido a la cuestión de precisión.

Recursos:
3-D Trilateration
Trilateration
GPS

Toda esta charla de "esferas de intersección" no puede ser verdad. Este es el por qué.

1. Cuando recibe la señal de un satélite, sabe dónde está porque esa información se transmitió en el mensaje y también exactamente a qué hora se envió. En el sistema GPS, todos los relojes atómicos se mantienen sincronizados a través de señales de control desde el suelo con una precisión de más de menos 3 nanosegundos. Pero no puede calcular SU distancia al satélite y, por lo tanto, a la esfera, porque su hora local no es la misma. Si la hora local no está sincronizada con la hora del satélite en solo 1 milisegundo, debido a que la luz viaja a 299,792,458 metros por segundo, ¡esto se traduce en un error de distancia de aproximadamente 300 kilómetros!
2. Con dos satélites puede calcular la distancia RELATIVA de los dos satélites calculando las diferencias entre los tiempos de transmisión de los dos mensajes y la hora local. Entonces puede trazar su posición a lo largo de un hiperboloide en tres dimensiones . La superficie del hiperboloide describe todas las posiciones en el espacio donde las dos diferencias de tiempo tienen sentido y dónde podría estar.
3. Con tres satélites puedes calcular DOS hiperboloides. Su intersección es una hipérbola. Puedes estar en cualquier lado.
4. Con cuatro satélites, puede calcular la intersección de TRES hiperboloides y derivar su posición en el espacio, descontando los efectos del retraso atmosférico.

Para considerar el retraso atmosférico, debe comparar los retrasos de dos señales enviadas a diferentes frecuencias desde el mismo satélite o comparar las lecturas de la misma señal vista desde dos ubicaciones diferentes ("GPS diferencial"). Los sistemas GPS modernos correlacionan las dos señales militares encriptadas en las frecuencias L1 y L2 para obtener esta información.

Algunas de las respuestas son cercanas, pero no del todo claras.

Si bien formaba parte de un equipo de 3 personas que pasó 2 años a principios de los 90 desarrollando las primeras estaciones diferenciales de GPS no militares en el suroeste de Inglaterra, nos encontramos con algunas preguntas extraordinarias. 3 o 4 siendo uno de ellos.

Para explicar esto, es mejor comenzar con un sistema de radio navegación terrestre. Tome una señal de un punto fijo conocido (Estación # 1) en la playa y transmítala a un barco en el mar. El barco sabe cuánto tiempo ha estado viajando el rayo y la ubicación exacta de la estación n. ° 1; lo sabe porque el momento en que el rayo salió del punto fijo se imprime en la señal transmitida, por ejemplo (comenzó en 'A' segundos y se recibió en 'B' segundos), por lo tanto, dada la velocidad de la luz (C) de las ondas de radio, el barco debe estar (BA) XC desde la estación n. ° 1: esta respuesta es Range1.

Tome otro punto conocido Station2 desde el cual comenzó una señal al mismo tiempo 'A' segundos, pero Station2 está en un punto conocido diferente que da Range2. Desde Range2 sabes que tu nave se encuentra a lo largo de Range1.

Haga lo mismo con una tercera estación y obtendrá una intersección de los 3 rangos. Pero no se cruzan perfectamente ... ¡nunca!

Esto se debe a la atmósfera, interferencias, retrasos de propagación que afectan a todas las ondas de radio. Las intersecciones de los 3 rangos le dan un triángulo de error (por lo tanto, triangulación) en un plano bidimensional (X e Y - LAT Y LON o Norte y Este). Ahora, para obtener su elevación (H) necesita un cuarto Rango (lo adivinó - Range4) que le dará una ubicación tridimensional - XY y Z - LAT LON y Altura.

Ahora toma todas tus estaciones y pégalas en el espacio como GPS y tu nave se colocará en algún lugar dentro de un triángulo de error 3D de 4 lados que está ligeramente curvado en todos los lados.

La respuesta está aquí: (en 2D necesita 2 hipérbolas (3 satélites) en 3D necesita 3 hiperboloides (4 satélites) Desmond Schmidt tiene razón)

http://hayabusa.slovakforum.net/t263-topic#2570

... lo siento, está en idioma eslovaco (mi inglés es malo), pero las imágenes y los pequeños cálculos explican todo, y puedes usar el traductor de Google.