¿Por qué es RK4 mejor que la integración de Euler? [cerrado]

Al final de estas excelentes diapositivas , el autor compara todos los diferentes integradores presentados. De una forma u otra, todos se quedan cortos, excepto la Integración Euler mejorada y la Integración Runge Kutta 4 , que pasan todas las pruebas.

Supongo que debería mencionar que estoy trabajando en un juego 2D que no requiere mucha física. Tengo curiosidad por saber dónde la integración mejorada de Euler se quedaría corta y RK4 tendría que usarse en su lugar.

Mi juego consiste principalmente en gravedad simple (saltar y caer), movimiento a lo largo de los ejes X e Y, y colisión de caja delimitadora. ¿Vale la pena implementar RK4 o sería suficiente Euler mejorado? Veo muchas discusiones en las que los usuarios de Euler Integration son castigados, pero por lo que puedo ver, Euler mejorado es equivalente en cuestiones 2D simples. Me imagino que también sería más rápido.

Personalmente prefiero Velocity Verlet para la mayoría de las simulaciones. En mi experiencia con este método, es bastante adecuado para ecuaciones bastante rígidas. Parece que este método de "Euler mejorado" es bastante similar al de Velocity Verlet y se basa en una clase de métodos de integración conocidos como predictor-corrector . Puede leer muchas cosas sobre estos métodos hoy en día, comenzando con los "Grandes pasos en la simulación de telas" de David Baraff, donde el poder de los métodos implícitos realmente brilla. Su caída es que usted:

1. tener que aproximarnos a jacobianos o hessianos y luego tener que
2. calcular una cantidad justa de inversas de matriz por cuadro.

Entonces, si no eres un gurú de las matemáticas, podrías atascarte los dedos. Simplemente experimente con el método que desee y luego conéctese con el que parece funcionar mejor para usted. Simple no siempre es mejor, pero para framerates interactivos solo conozco una palabra: compromiso.

Algunos recursos adicionales que quizás desee ver:

• "Física avanzada de personajes" de Jakobsen
• "Comparación de técnicas de simulación de James McCarthy utilizando sistemas de partículas"

Jakobsen es una especie de genio por proponer una idea tan simple para un problema pretencioso (su especialidad es la criptografía si no se confunde, pero logró demostrar la equivalencia matemática de su método a una clase de algoritmo iterativo Gauss-Seidel, que es convergente ) Por simplicidad, vaya a esto primero antes de profundizar en los métodos implícitos.

EDICIÓN MÁS TARDE : Recientemente recibí un documento sobre este tema del uso de integradores explícitos para la simulación de cuerpo blando o semirrígido y cuál es su impacto en el rendimiento y la calidad. Este documento debe servir como guía para elegir un determinado integrador, según el escenario.

P: ¿Por qué utilizar el avanzado Runge Kutta?
A: Porque es muy exacto.

P: ¿Por qué no?
R: Debido a que estás haciendo un juego y no importa un motor de física muy exacto, solo tiene que ser lo suficientemente bueno como para engañar al jugador.

Por cierto, si tiene una fuerte amortiguación en la colisión, como lo haría la mayoría de los juegos de plataformas, un Euler simple está bien.

Le recomiendo encarecidamente que, a diferencia del código en la presentación, utilice una física de pasos fijos, lo que le ahorra algunos posibles fallos y le permite resolver el problema de que la pelota gane o pierda energía de una manera muy simple. Simplemente vaya al punto medio entre la integración explícita e implícita:

velocity += 0.5 * acceleration;
position += velocity;
velocity += 0.5 * acceleration;

Lo que la presentación no muestra es cómo manejar las colisiones para que los objetos no parezcan ir más allá de los límites. La solución simple a ese problema es usar una frecuencia de actualización alta. Una solución más compleja pero potencialmente de mejor desempeño es mover los objetos hacia atrás en el momento de la colisión, la implementación exacta depende del comportamiento físico deseado.

La presentación tiene error. ¡El método al que el presentador se refiere como "Euler mejorado" es en realidad el método Velocity Verlet!

Consulte aquí para obtener una fuente más autorizada: http://www.physics.udel.edu/~bnikolic/teaching/phys660/numerical_ode/node5.html

También las mismas ecuaciones están en Wikipedia .

Una mejora inmediata común sobre el método de Euler es el método de punto medio que el presentador probablemente tenía en mente, pero terminó confundiendo a Velocity Verlet como Euler mejorado. La única diferencia entre el método de punto medio y Velocity Verlet es que la velocidad es el promedio de la última y la próxima aceleración en lugar de depender solo de la última aceleración.