¿Hay un equivalente en 3D de los mapas de mosaico hexadecimal?

Probablemente la mayor ventaja de un mosaico de mapas basado en hexágonos versus cuadrados es que el centro de cada hexágono tiene la misma distancia a todos sus hexes vecinos. ¿Hay una forma similar que se muestra de esta manera en 3D y un motor que admita ese modelo?

El equipo de etiqueta de Google y Wikipedia al rescate:

Teselación y, más específicamente para 3D, Honeycomb es el término a buscar. De hecho, los cubos son los únicos poliedros regulares (todas las caras son congruentes) Y rellenan espacios (no quedan huecos como con el relleno de esferas) en el espacio 3D. Pero tienen el mismo problema que los cuadrados 2D: distancias muy diferentes a sus vecinos.

Un panal cúbico bitrunado hecho de octaedro truncado (bastante bocado) se acerca mucho a lo que estaba pidiendo. Las desventajas son que el octaedro truncado no es regular (cuadrados y hexágonos como caras) y tiene menos vecinos que un cubo (14 contra 26), pero llena el espacio con un solo sólido repetido y tiene (aproximadamente) la misma distancia a todos sus vecinos.

Los mapas hexagonales 2D son una representación de esferas empaquetadas en una bandeja plana (2D), con cada hexágono centrado en la esfera equivalente, y permiten determinar las distancias entre las celdas a una precisión viable (para fines de juego de todos modos), simplemente contando el número de celdas hexadecimales por las que pisas

La representación 3D equivalente es la teselación cúbica centrada en la cara (FCC) / empaquetado cúbico cercano (CCP) mencionada anteriormente, utilizando dodecaedros rómbicos.

Este artículo de Wikipedia refiere a FCC / CCP en particular y este otro artículo lo compara con el empaquetado hexagonal cercano (HCP), pero el segundo artículo tiende a ser un poco más matemático.

He estado investigando el uso de estos en el mapeo de juegos de rol, pero aunque existe una 'corrección' atractiva sobre ellos (la base matemática, la capacidad de empacar espacio sin espacios, la simetría cuando los cortes se toman a través de la red, etc.), lo real Los problemas con fines de juego parecen ser la dificultad que enfrentarían los jugadores / GM para visualizarlos, y la falta de un sistema de coordenadas obvio para hacer referencia a ellos.

Aunque me duele, los cubos simples con coordenadas {x, y, z} parecen una solución mucho más simple, permitiendo que todos se concentren en el juego en lugar de estar constantemente desconcertados por la elección no trivial del estándar de mapeo.

Solo mis 2 centavos, aunque una adición muy tardía a este hilo.

Ah, como un aparte para los ajustes de temática espacial, cada celda tiene doce celdas adyacentes (tres arriba, tres abajo y seis alrededor del avión) y esto permite un enlace de constelación / astrología ordenado. Imagine un sector local en la celda inicial y luego nombre cada sector adyacente después de una de las constelaciones astrológicas. Así como los mapas hexadecimales se pueden descomponer en hexes más pequeños, las celdas FCC se pueden descomponer en celdas más pequeñas, permitiendo que cada sector nombrado después de una constelación se descomponga en subsectores. "Vamos a establecer un curso para el subsector 031 del Sector Géminis" ...

Stuart

Hay dos análogos simples en 3D de la red hexagonal: Hexagonal Close Packing (HCP) y Cubic Close Packing , también conocido como Face-Centered Cubic (CCP / FCC).

Ambas redes son bastante similares: tienen el mismo número de vecinos más cercanos por sitio (12) y la misma densidad de empaquetamiento de esfera (~ 74%), y ambas pueden descomponerse en redes hexagonales 2D apiladas.

De los dos, consideraría que la red CCP es algo "más agradable": es más simétrica, no tiene un eje preferido como la red HCP. En particular, si tuviera que sentarse dentro de una de las celdas de la red CCP y mirar una de las celdas vecinas más cercanas, la red se vería igual independientemente de cuál de las celdas vecinas estuviera mirando. Esto no es válido para la red HCP.

Las células del mosaico CCP son dodecaedros rómbicos agradables y simétricos , mientras que las del HPC están retorcidas en dodecaedros trapezo-rómbicos . Aquí hay una imagen de algunos dodecaedros rómbicos en mosaico para formar una red CCP de Wikipedia:

(Imagen del usuario de Wikipedia AndrewKepert, licenciado bajo GFDL 1.2+ / CC-By-SA 3.0.)

También tenga en cuenta que, como sugiere el nombre alternativo "red cúbica centrada en la cara", hay una fórmula muy simple para encontrar los centros de las celdas en una red CCP: comience con una red cúbica simple, con puntos en las esquinas de los cubos, y agregue nuevos puntos en los centros de las caras de los cubos. Los vecinos más cercanos de los puntos en las esquinas son aquellos en las 12 caras adyacentes, mientras que los vecinos más cercanos de los puntos en las caras son los 4 en las esquinas adyacentes más el 8 en las caras adyacentes de los dos cubos que comparten la cara en la que el punto central miente. (Con algo de geometría, puede mostrar que los vecindarios de todos los puntos, de hecho, se ven iguales, aunque esta construcción hace que parezca que los "puntos de la cara" son diferentes de los "puntos de las esquinas").

(Nota: la página de MathWorld a la que me vinculé anteriormente parece contener un error, ya que la densidad de la red relacionada "Cúbica centrada en el cuerpo" no empaquetada también es del 74%, en realidad es aproximadamente el 68%).

Estoy de acuerdo con @Cyclops en que probablemente esto sea mejor preguntar en el intercambio de pila matemática, pero mientras tanto, es posible que desee examinar la estructura de Empaquetado Hexagonal . Es la disposición de esferas más densa posible en 3D, y aunque la distancia a todos los vecinos no es uniforme, puede ser la mejor que obtendrá. La red Diamond Cubic tiene la misma distancia que los vecinos directos, pero está bastante compacta y cada punto solo tiene cuatro puntos adyacentes.