Como otros han señalado en los comentarios, el método básico de integración de Euler descrito en la respuesta de tenpn tiene algunos problemas:
Incluso para el movimiento simple, como el salto balístico bajo gravedad constante, introduce un error sistemático.
El error depende del paso de tiempo, lo que significa que cambiar el paso de tiempo cambia las trayectorias de los objetos de una manera sistemática que los jugadores pueden notar si el juego usa un paso de tiempo variable. Incluso para juegos con un paso de tiempo de física fijo, cambiar el paso de tiempo durante el desarrollo puede afectar notablemente la física del juego, como la distancia a la que volará un objeto lanzado con una fuerza determinada, lo que podría romper niveles previamente diseñados.
No conserva energía, incluso si la física subyacente debería hacerlo. En particular, los objetos que deberían oscilar constantemente (por ejemplo, péndulos, resortes, planetas en órbita, etc.) pueden acumular energía de manera constante hasta que todo el sistema se desmorone.
Afortunadamente, no es difícil reemplazar la integración de Euler con algo que sea casi tan simple, pero que no tenga ninguno de estos problemas, específicamente, un integrador simpléctico de segundo orden, como la integración de salto de rana o el método de Verlet de velocidad estrechamente relacionado . En particular, donde la integración básica de Euler actualiza la velocidad y la posición como:
aceleración = fuerza (tiempo, posición) / masa;
tiempo + = paso de tiempo;
posición + = paso de tiempo * velocidad;
velocidad + = paso de tiempo * aceleración;
el método de Verlet de velocidad lo hace así:
aceleración = fuerza (tiempo, posición) / masa;
tiempo + = paso de tiempo;
posición + = paso de tiempo * ( velocidad + paso de tiempo * aceleración / 2) ;
newAcceleration = fuerza (tiempo, posición) / masa;
velocidad + = paso de tiempo * ( aceleración + nueva aceleración ) / 2 ;
Si tiene varios objetos que interactúan, debe actualizar todas sus posiciones antes de volver a calcular las fuerzas y actualizar las velocidades. Las nuevas aceleraciones se pueden guardar y usar para actualizar las posiciones en el siguiente paso de tiempo, reduciendo el número de llamadas force()a uno (por objeto) por paso de tiempo, al igual que con el método Euler.
Además, si la aceleración es normalmente constante (como la gravedad durante el salto balístico), podemos simplificar lo anterior a solo:
tiempo + = paso de tiempo;
posición + = paso de tiempo * ( velocidad + paso de tiempo * aceleración / 2) ;
velocidad + = paso de tiempo * aceleración;
donde el término extra en negrita es el único cambio en comparación con la integración básica de Euler.
En comparación con la integración de Euler, los métodos de velocidad Verlet y leapfrog tienen varias propiedades agradables:
Para una aceleración constante, dan resultados exactos (de todos modos, hasta errores de redondeo de punto flotante), lo que significa que las trayectorias de salto balístico se mantienen igual incluso si se cambia el paso de tiempo.
Son integradores de segundo orden, lo que significa que, incluso con aceleración variable, el error de integración promedio es solo proporcional al cuadrado del paso de tiempo. Esto puede permitir tiempos más largos sin comprometer la precisión.
Son simplécticos , lo que significa que conservan energía si la física subyacente lo hace (al menos mientras el paso de tiempo sea constante). En particular, esto significa que no obtendrás cosas como planetas que vuelan espontáneamente fuera de sus órbitas, u objetos unidos entre sí con resortes que se tambalean gradualmente más y más hasta que todo explota.
Sin embargo, el método de velocidad Verlet / leapfrog es casi tan simple y rápido como la integración básica de Euler, y ciertamente mucho más simple que alternativas como la integración Runge-Kutta de cuarto orden (que, aunque generalmente es un integrador muy agradable, carece de la propiedad simpléctica y requiere cuatro evaluaciones de la force()función por paso de tiempo). Por lo tanto, los recomendaría encarecidamente para cualquiera que escriba cualquier tipo de código de física del juego, incluso si es tan simple como saltar de una plataforma a otra.
Editar: Si bien la derivación formal del método Verlet de velocidad solo es válida cuando las fuerzas son independientes de la velocidad, en la práctica puede usarla bien incluso con fuerzas dependientes de la velocidad, como el arrastre de fluido . Para obtener los mejores resultados, debe usar el valor de aceleración inicial para estimar la nueva velocidad para la segunda llamada force(), de esta manera:
aceleración = fuerza (tiempo, posición, velocidad) / masa;
tiempo + = paso de tiempo;
posición + = paso de tiempo * ( velocidad + paso de tiempo * aceleración / 2) ;
velocidad + = paso de tiempo * aceleración;
newAcceleration = fuerza (tiempo, posición, velocidad) / masa;
velocidad + = paso de tiempo * (nueva aceleración - aceleración) / 2 ;
No estoy seguro de si esta variante particular del método de velocidad Verlet tiene un nombre específico, pero lo he probado y parece funcionar muy bien. No es tan preciso como el Runge-Kutta de orden inicial (como cabría esperar de un método de segundo orden), pero es mucho mejor que Euler o Verlet de velocidad ingenua sin la estimación de velocidad intermedia, y aún conserva la propiedad simpléctica de la normalidad Verlet de velocidad para fuerzas conservadoras no dependientes de la velocidad.
Edición 2: Groot y Warren ( J. Chem. Phys. 1997) describen un algoritmo muy similar , aunque, al leer entre líneas, parece que sacrificaron algo de precisión por la velocidad extra al guardar el newAccelerationvalor calculado usando la velocidad estimada y reutilizándolo como accelerationpara el siguiente paso de tiempo. También introducen un parámetro 0 ≤ λ ≤ 1 que se multiplica accelerationen la estimación de velocidad inicial; por alguna razón, recomiendan λ = 0.5, aunque todas mis pruebas sugieren que λ= 1 (que es efectivamente lo que uso arriba) funciona igual o mejor, con o sin la reutilización de aceleración. Tal vez tenga algo que ver con el hecho de que sus fuerzas incluyen un componente de movimiento browniano estocástico.