Lo que Unity dice sobre los puntos frente a los vectores no tiene sentido a largo plazo, ya que las API de geometría simplemente eligen definiciones distintas para hacer que la herramienta sea más accesible, no corresponden a cómo se conceptualizan estas cosas en geometría. Echa un vistazo a las implementaciones de las clases, si puedes. Debido a que es arbitrario, conocer su definición es la única forma de entender cuál es el concepto. Revelación completa, no tengo experiencia en Unity.
Un vector es un punto en un espacio vectorial , en el sentido de que el concepto de un punto en la geometría está codificado por elementos del conjunto subyacente. Un espacio vectorial tiene un vector distinguido, llamado origen o 0 . El álgebra lineal es un intento de codificar un fragmento de geometría euclidiana con un origen algebraico.
La flecha y su longitud
Los movimientos a través de un espacio de puntos se interpretan con frecuencia como todas las flechas desde los puntos de origen / antes a sus puntos de destino / después.
Se puede aplicar una función de dos argumentos a un argumento para producir una función de un argumento: podemos hablar de x +, la función que lleva cada vector y al vector x + y . Esta es la traducción asociada con la adición de x . Las flechas asociadas van desde los puntos y hasta los puntos x + y . Ver: aplicación parcial , curry .
Entonces, ¿por qué solo usamos una flecha ? La flecha desde el origen apunta a un vector específico, la x en x +: el origen es la identidad de la suma del vector. Entonces, podemos recuperar la traducción x + solo de su valor x +0 = x .
Como representación gráfica del espacio, la representación de la flecha tiene que ver con nuestra capacidad de extrapolar visual o físicamente el efecto de una traducción del valor que lo determina. ¿Cuándo tenemos esa habilidad?
Darle al espacio vectorial una norma que lo convierta en un espacio vectorial normalizado es proporcionar una noción de la longitud de un vector que tiene sentido como su distancia desde 0. Además, esta es una distancia que satisface la desigualdad del triángulo, que es un fuerte restricción sobre cómo las longitudes de dos vectores se relacionan con las de su suma. Desde la longitud podemos definir la distancia para hacer de este un espacio métrico , y una geodésica es un camino intrínsecamente recto, ya que es lo más corto posible. La norma euclidiana induce la distancia euclidiana y las geodésicas son los segmentos de línea de las flechas, pero si dibujas las flechas como geodésicas usando diferentes normas, podría extrapolar el efecto geométrico de la traducción desde las geodésicas para aprender sobre la geometría.
El significado de punto y vector
En algunos casos al hacer geometría de juegos, su espacio de puntos no es un espacio vectorial . Un espacio afín de dimensión n puede incrustarse en un espacio proyectivo de dimensión n . Los mapas afines se reducen a proyectividades. Las proyectividades también te permiten hacer FOV, w / c, creo que no es afín. Las proyectividades tienen beneficios:
El espacio n proyectivo sobre un campo puede construirse a partir del espacio lineal ( n +1) (espacio vectorial), tratando los puntos del espacio proyectivo como las líneas a través del origen del espacio lineal. Los planos a través del origen a su vez dan líneas proyectivas. Multiplicar vectores por una matriz fija es un mapa lineal , para eso sirve la multiplicación de matrices. Los mapas lineales preservan el origen y son compatibles con incidencia. En particular, si f es un automorfismo lineal ( correspondiente a una matriz invertible ( n +1) x ( n +1)), y dos líneas L, M a través del origen abarcan un plano A , entoncesf L, f M son líneas que atraviesan el origen que abarca f A , por lo que f también preservará la incidencia en el espacio proyectivo: una matriz invertible tiene una proyectividad asociada. La multiplicación de matrices codifica la composición de mapas lineales y, por lo tanto, de las proyectividades.
Al eliminar el origen del espacio lineal, todos los puntos en una línea dada a través del origen son múltiplos escalares entre sí. Explotando este hecho, la homogeneización selecciona un punto lineal para reemplazar cada punto proyectivo y una matriz invertible para reemplazar cada transformación proyectiva (como en este 2D -> mapas afines 2D como 3D -> video de mapas lineales 3D ), en tal forma en que los representantes están cerrados bajo los productos matriz-matriz y matriz-vector y dan y son dados por cosas proyectivas únicas. Esta descripción de la construcción del plano proyectivo desde el plano lineal une algunas cosas.
Entonces, en la tubería de matriz de modelo-vista-proyección, estamos usando vectores para representar los puntos de nuestro espacio proyectivo, pero el espacio proyectivo no es un espacio vectorial, y no todos los vectores en el espacio vectorial que estamos usando representan puntos de nuestra geometría (ver imagen del plano afín a la derecha ). Utilizamos matrices de traducción en lugar de la suma vectorial si queremos traducciones. A veces, las personas llaman vectores de puntos proyectivos o afines, especialmente cuando usan una configuración en esta línea.