Método de desacoplamiento del sistema MIMO (entrada múltiple

En muchos artículos y libros se describe un sistema MIMO con método de desacoplamiento de 2 entradas y 2 salidas a un sistema SISO . ¿Qué hay de los sistemas de funciones de transferencia de tamaño m * n ? ¿Cómo podemos generalizar el método, por ejemplo, a sistemas MIMO 3 * 3 o 3 * 7?

Aquí hay una descripción del sistema 2 * 2 MIMO:

con al formulario $\mathrm{D_{11}(s)=D_{22}(s)=1}$

$D (s) = [\begin{matrix} D_{11} (s) & D_{12} (s) \\ D_{21} (s) & > D_{22} (s) \end{matrix}]$ $\mathrm{D(s)}=\begin{bmatrix} D_{11}(s) & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & > D_{22}(s) \\ \end{bmatrix}$
Aquí especificamos una respuesta desacoplada y el desacoplador con la estructura en la ecuación

$G_{p} (s) D (s) = [\begin{matrix} G_{11} (s) & 0 \\ 0 & G_{22} (s) > \end{matrix}] [\begin{matrix} G_{11} (s) & G_{12} (s) \\ G_{21} (s) & > G_{22} (s) \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & D_{12} (s) \\ D_{21} (s) & 1 > \end{matrix}] >= [\begin{matrix} G_{11}^{*} (s) & 0 \\ 0 & G_{22}^{*} (s) \end{matrix}]$ $G_p(s)D(s)=\begin{bmatrix} G_{11}(s) & 0 \\0 & G_{22}(s) > \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \\ G_{21}(s) & > G_{22}(s) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & 1 > \end{bmatrix} > = \begin{bmatrix} G^*_{11}(s) & 0 \\ 0 & G^*_{22}(s) \end{bmatrix}$
Y podemos resolver cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas para encontrar

$D_{12} (s) = - \frac{G_{12} (s)}{G_{11} (s)} D_{21} (s) => - \frac{G_{21} (s)}{G_{22} (s)} G_{l 1} (s) = G_{11} (s) = - \frac{G_{12} (s) G_{21} (s)}{G_{22} (s)} G_{l 2} (s) = G_{22} (s) = - \frac{G_{21} (s) G_{12} (s)}{G_{11} (s)}$ $D_{12}(s) = -\frac{G_{12}(s)}{G_{11}(s)} \\ D_{21}(s) = > -\frac{G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l1}(s) = G_{11}(s) = -\frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l2}(s) = G_{22}(s) = -\frac{G_{21}(s)G_{12}(s)}{G_{11}(s)}$

control-engineering aerospace-engineering systems-engineering

— lahidj
fuente

Debe buscar posiblemente en un análisis de red y libros de texto de síntesis, por ejemplo, Kuo o Brian DO Anderson y Sumeth Vongpanitlerd. No es una asignatura que se enseñe mucho en estos días.

— Mi otra cabeza

Creo que estás buscando la forma de espacio de estado.

— leCrazyEngineer

Este tema sobre el intercambio de pila de matemáticas podría ayudar a math.stackexchange.com/questions/1297659/…

— jos

No puedo darle la solución usando las funciones de transferencia. Sin embargo, puedo darle una forma general utilizando la representación del espacio de estados. Lo haré para un sistema cuadrado , es decir, el número de entradas y salidas es igual. Para un sistema con entradas salidas, se está volviendo más complicado y mucho más difícil resolver el problema. $n$ $m$

El sistema con salidas

\dot{x} = f (x) + g_{1} (x) u_{1} + \dots + g_{m} (x) u_{m}

$\dot{x}=f(x)+ g_1(x)u_1 + \ldots + g_m(x)u_m$

y_{1} = h_{1} (x), \dots, y_{m} = h_{m} (x)

$y_1 = h_1(x), \ldots, y_m = h_m(x)$

Primero introduciendo el derivado de mentira. La derivada de mentira de con respecto a o a lo largo de es Por ejemplo, se usa la siguiente notación: $h$ $f$ $f$

L_{f} h (x) = \frac{\partial h}{\partial x} f (x)

$L_{f}h(x) = \frac{\partial h}{\partial x}f(x)$

\begin{aligned} L_{g} L_{f} & = \frac{\partial (L_{f} h)}{\partial x} g (x) \\ L_{f}^{2} h (x) & = L_{f} L_{f} h (x) & = \frac{\partial (L_{f} h)}{\partial x} f (x) \\ L_{f}^{k} h (x) & = L_{f} L_{f}^{k - 1} h (x) & = \frac{\partial (L_{f}^{k - 1})}{\partial x} f (x) \end{aligned}

$\begin{split} L_g L_f &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}g(x)\\ L_f^2 h(x) &= L_f L_f h(x) &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}f(x)\\ L_f^kh(x) &= L_f L_f^{k-1}h(x) &= \frac{\partial (L_f^{k-1})}{\partial x}f(x) \end{split}$

Introducir la noción de grado relativo con respecto a cada salida. Considere la salida -ésima y diferencie con respecto al tiempo: Esta expresión depende explícitamente en al menos una entrada if (para todo ): If así, el salida ésimo tiene grado relativo . $i$

{\dot{y}}_{i} = L_{f} h_{i} (x) + L_{g_{1}} h_{i} (x) u_{1} + \dots L_{g_{m}} h_{i} (x) u_{m}

$\dot{y}_i = L_fh_i(x) +L_{g_1}h_i(x)u_1 +\ldots L_{g_m}h_i(x)u_m$

x

$x$

(L_{g_{1}} h_{i} (x), \dots, L_{g_{m}} h_{i} (x)) \neq (0, \dots, 0)

$\left(L_{g_1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}h_i(x) \right)\neq (0,\ldots,0)$

i

$i$

k_{i} = 1

$k_i = 1$

En general, el grado relativo por salida if para todas las . $k$ $i$

(L_{g}, L_{f}^{k_{i} - 1} h_{i} (x), \dots, L_{g_{m}} L_{f}^{k_{i} - 1} h_{i} (x)) \neq (0, \dots, 0)

$\left(L_g,L_f^{k_i-1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}L_f^{k_i-1}h_i(x)\right) \neq (0,\ldots,0)$

x

$x$

El sistema ahora está linealizado de entrada-salida (por lo tanto, desacoplado) al aplicar la siguiente retroalimentación con el desacoplamiento matriz , vector y nuevo vector de entrada . Donde .

u (x) = - A^{- 1} (x) N (x) + A^{- 1} (x) v

$u(x) = -A^{-1}(x)N(x)+A^{-1}(x)v$

A (x)

$A(x)$

N (x)

$N(x)$

v

$v$

A (x) = (\begin{matrix} L_{g_{1}} L_{f}^{k_{1} - 1} h_{1} (x) & \dots & L_{g_{m}} L_{f}^{k_{1} - 1} h_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ L_{g_{1}} L_{f}^{k_{m} - 1} h_{m} (x) & \dots & L_{g_{m}} L_{F}^{k_{m} - 1} h_{m} \end{matrix}), N (x) = (\begin{matrix} L_{f}^{k_{1}} h_{1} (x) \\ ⋮ \\ L_{f}^{k_{m}} h_{m} (x) \end{matrix})

$A(x) = \begin{pmatrix} L_{g_1}L_f^{k_1-1}h_1(x) & \ldots & L_{g_m}L_f^{k_1-1}h_1\\ \vdots & & \vdots\\ L_{g_1}L_f^{k_m-1}h_m(x) & \ldots & L_{g_m}L_F^{k_m-1}h_m\\ \end{pmatrix},\quad N(x) = \begin{pmatrix} L_f^{k_1}h_1(x)\\ \vdots\\ L_f^{k_m}h_m(x) \end{pmatrix}$

Por lo tanto, debe ser invertible para todas las . Si desea las funciones de transferencia, simplemente aplique Laplace. $A(x)$ $x$

— máquina inútil
fuente

Método de desacoplamiento del sistema MIMO (entrada múltiple - salida múltiple)