Respuesta de un sistema a una función escalonada (función Heaviside)

Me gustaría calcular la respuesta a una función escalonada de un sistema eléctrico / térmico. En general, puedo calcular "fácilmente" la función de transferencia : $H$

H (ω) = \frac{V_{o tu t} (ω)}{V_{yo norte} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Como la transformación de Fourier ( ) de la función Heaviside es (calculada con WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{yo norte} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{yo}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Por lo tanto, observando la transformada inversa de Fourier: $\mathcal{IF}$

V_{o tu t} (t) = yo F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{yo}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Para verificar mis matemáticas, traté de calcular la respuesta para un sistema RC simple:

Debería obtener la conocida carga del condensador. La función de transferencia:

H (ω) = \frac{1}{1 + yo ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Al calcular la transformada inversa de Fourier ( ) con WA ( ) obtengo: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Esto sería correcto si retrocediéramos en el tiempo: /. Entonces la pregunta es ... ¿Qué estoy haciendo mal?

Hice lo mismo con Laplace Transforms y todo funciona bien ... Pero no entiendo por qué.

PD: No quiero otro método, solo quiero entender qué hay de malo en mi enfoque.

PD: la razón por la que estoy usando WA es que para mi sistema más complicado necesito calcular las transformadas de Fourier usando WA.

— Oveja del mundo
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Esta no es la respuesta que está buscando, pero este artículo sobre cómo hacer una Transformada inversa discreta de Laplace para prácticamente cualquier función de transferencia puede ser de su interés.

— user5108_Dan

Gracias por el interesante enlace! Todavía estoy tratando de entender por qué se necesitan las transformaciones de Laplace. O mejor, por qué las transformadas de Fourier no funcionan ...

— Worldsheep

¿Conoces las transformaciones de Laplace? Las transformadas de Laplace y Fourier son bastante similares, pero no soy un matemático lo suficientemente bueno como para describir las diferencias exactas. Los EE generalmente funcionan en el dominio s (transformación de Laplace) que sería lo mismo que su ecuación H (w) si reemplaza reemplazar jw con s. Además, probablemente obtendrá una mejor respuesta si publica esta pregunta en el sitio dsp.stackexchange.com. Esos tipos están en sintonía con estas cosas.

— user5108_Dan

Sí, noté que EE siempre funciona con Laplace en estos casos y cuando lo intenté, ¡funcionó bien! Pero intuitivamente, usaría Fourier. ¡Seguiré tu consejo y visitaré el otro sitio!

— Worldsheep

Puede encontrar una respuesta a esta pregunta aquí: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

La razón principal probablemente se deba a que Wolfram Alpha aplica la transformación inversa de Fourier como una segunda transformación de Fourier. De hecho, el hacerlo "voltea tiempo" - como se puede demostrar matemáticamente :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0 0} & = yo re, F^{1} = F, \\ F^{2} & = PAGS, F^{4 4} = yo re, \\ F^{3} & = F^{- 1} = PAGS \circ F = F \circ PAGS \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Aplicando la transformada de Fourier 3 veces al sistema obtendrá la versión en el tiempo normal. Como las ondas son consistentes en el tiempo, normalmente no importa.

— marca
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