Pandeo: ¿Las formas del modo pandeo de n> 1 ocurren en realidad?

En el pandeo de columnas sabemos que:

P = \frac{n^{2} π^{2} E I}{L^{2}}

$P = \dfrac{n^2\pi^2EI}{L^2}$

El valor más pequeño de P ocurre cuando que da una forma de pandeo simple (una onda): $n=1$

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}}

$P_{cr} = \dfrac{\pi^2EI}{L^2}$

Sin embargo, para , como se muestra a continuación, la forma de pandeo es más compleja y tiene muchas ondas: $n > 1$

Mi pregunta es ¿las formas del modo de pandeo para ocurren alguna vez en la realidad? Si la columna comienza a abrocharse según la forma para , ¿no continuaría abrochándose así hasta el fracaso? ¿Cómo ocurrirían los otros modos de pandeo? $n > 1$ $n = 1$

— pauloz1890
fuente

Respuestas:

Que existan o no modos de pandeo con depende de cómo se mire la estructura. $n>1$

Como señala en su respuesta @hazzey, columnas con refuerzos pueden mostrar los modos de pandeo con . Sin embargo, estos modos de pandeo son simplemente equivalentes a los modos de los segmentos individuales que componen la columna. Para ser claros, esto no significa que los segmentos se comporten de manera independiente (nunca tendrá dos longitudes consecutivas sin arriostramiento que se abrochen al mismo lado), solo que cualquier modo puede estar compuesto por una serie de modos continuos para las longitudes sin refuerzo. $n>1$ $n=1$ $n>1$ $n=1$

Entonces, si tiene una columna con un solo refuerzo que se dobla, ¿considera que un modo para toda la columna o un modo para cada una de las longitudes sin refuerzo? ¿Ambos? Tu llamada. $n>1$ $n=1$

Parafraseando el comentario de @ starrise sobre la respuesta de @ hazzey, esto se puede demostrar al observar la ecuación de pandeo:

\begin{aligned} P & = {(\frac{n}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{c o l u m n, n = 2} & = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{s e g m e n t, n = 1} & = {(\frac{1}{\frac{L}{2}})}^{2} π^{2} E I = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ ∴ P_{c o l u m n, n = 2} & = P_{s e g m e n t, n = 1} \end{aligned}

$\begin{align} P &= \left(\dfrac{n}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{column,\,n=2} &= \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{segment,\,n=1} &= \left(\dfrac{1}{\frac{L}{2}}\right)^2\pi^2EI = \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ \therefore P_{column,\,n=2} &= P_{segment,\,n=1} \end{align}$

— Wasabi
fuente

Si observa que la columna está soportada en los extremos, tiene razón en que el modo n = 1 proporciona la carga de pandeo más baja.

Sin embargo, los otros modos (n = 2,3, ...) no son inútiles. Las columnas largas a menudo se arriostran a intervalos regulares para reducir la longitud no arriostrada de la columna. Para una longitud dada de columna, estas abrazaderas obligan a la columna a doblarse bajo un modo diferente (n = 2,3, ...) con el aumento correspondiente en la carga de pandeo.

— Hazzey
fuente

No me di cuenta de que las formas de modo se referían al arriostramiento de las columnas, pero eso realmente tiene sentido ahora que lo pienso.

— pauloz1890

Pero, ¿no sería la carga para el modo global de la columna igual al modo de uno de sus segmentos sin refuerzo? Esto significa que si existen modos depende de cómo se mire la estructura. Si lo miras desde una perspectiva global, entonces sí, son posibles modos. Sin embargo, si observa los segmentos locales que componen la estructura, solo existen modos. @ pauloz1890

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

— Wasabi

@Wasabi Sí, creo que eso es lo que me ha confundido, tienes razón.

— pauloz1890

Como señaló @Wasabi, solo existen modos al considerar los arriostramientos. Para ver por qué, tenga en cuenta que en el caso , . Entonces que es idéntico al caso pero para una columna más corta. Lo mismo se aplica naturalmente para cualquier . Todo esto debería tener sentido ya que se puede decir que la parte superior e inferior de la columna global original están arriostradas en el mismo sentido (al menos con estas condiciones límite).

n = 1

$n=1$

n = 2

$n=2$

L_{s e g m e n t} = L_{g l o b a l} / 2

$L_{segment}=L_{global}/2$

P = 4 π^{2} E I / (4 L_{s e g m e n t}^{2}) = π^{2} E I / L_{s e g m e n t}^{2}

$P=4\pi^2 EI/(4L_{segment}^2)=\pi^2 EI/L_{segment}^2$

n = 1

$n=1$

n

$n$

— wwarriner

@SamWatkins, de hecho, los casos no son independientes. No podrían serlo, ya que estamos hablando de una sola columna monolítica con arriostramiento. Si ambas secciones se doblaran hacia el mismo lado, entonces habría una discontinuidad en el ángulo de deformación de la columna, lo cual es imposible. La afirmación de que los modos realidad son solo una serie del modo 1 no implica que cada uno de los modos 1 sea independiente, sino que un modo solo ocurre en el mundo real si puede estar compuesto por un serie de modo continuo 1's.

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

— Wasabi