¿Cómo determinar la longitud característica en los cálculos de números de Reynolds en general?

Entiendo que el número de Reynolds viene dado por la expresión , donde es la densidad, es la velocidad del fluido y es la viscosidad dinámica. Para cualquier problema de dinámica de fluidos, , y se dan trivialmente. Pero, ¿cuál es exactamente la longitud característica ? ¿Cómo lo calculo exactamente? ¿Qué puedo usar de un problema determinado para determinar la longitud característica automáticamente? $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics

— Pablo
fuente

¿Podría explicar por qué el número de Reynolds es la similitud que describe su problema de flujo?

— rul30

Respuestas:

Me gustaría abordar esta pregunta desde una perspectiva matemática que puede ser fructífera como se discute en algunos de los comentarios y respuestas. Las respuestas dadas son útiles, sin embargo, me gustaría agregar:

En general, la escala de longitud más pequeña disponible es la escala de longitud característica.
A veces (por ejemplo, en sistemas dinámicos) no hay una escala de longitud fija para elegir como una escala de longitud característica. En tales casos, a menudo se puede encontrar una escala de longitud dinámica.

Escalas de longitud características:

TL; DWTR: para,es la escala de longitud característica; para,es la escala de longitud característica. Esto implica que la escala de longitud más pequeña es (generalmente) la escala de longitud característica. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Considere el caso de flujo de tubería discutido en las otras respuestas; existe el radio pero también la longitud de la tubería. Por lo general, consideramos que el diámetro de la tubería es la escala de longitud característica, pero ¿es este siempre el caso? Bueno, veamos esto desde una perspectiva matemática; definamos las coordenadas adimensionales: $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

Aquí, , , , son coordenadas - escalas de velocidad pero no necesariamente sus escalas características. Tenga en cuenta que la elección de la escala de presión solo es válida para . El caso requiere un cambio de escala. $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

Transformando la ecuación de continuidad en cantidades adimensionales:

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

que solo puede ser el caso cuando asumimos o . Sabiendo esto, el número de Reynolds puede redefinirse: $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

Del mismo modo, transformemos las ecuaciones de Navier-Stokes ( componente solo para mantenerlo corto): Vemos aquí el número de Reynolds que ocurre naturalmente como parte del proceso de escalado. Sin embargo, dependiendo de la relación geométrica , las ecuaciones pueden requerir un cambio de escala. Considere los dos casos: $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

El radio de la tubería es mucho más pequeño que la longitud de la tubería (es decir, ): $R/L\ll1$

La ecuación transformada luego lee: Aquí tenemos un problema porque el término podría ser muy grande y una ecuación correctamente escalada solo tiene coeficientes o más pequeños. Por lo tanto, necesitamos un cambio de escala de la coordenada , la velocidad y la presión :
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ Esta elección de cantidades reescaladas asegura que la ecuación de continuidad permanezca de la forma: The Navier-Stokes ecuaciones en términos de los rendimientos de cantidades reescaladas: que se escala correctamente con coeficientes de o menores cuando tomamos los valores . Esto indica que la escala de presión no necesitó ningún cambio de escala, pero las escalas de longitud y velocidad se han redefinido: $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ y vemos que la longitud característica y la escala de velocidad para respectivamente y no es y como se supone en el comienzo, pero y . $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
El radio de la tubería es mucho mayor que la longitud de la tubería (es decir, ) $R/L\gg1$ :

La ecuación transformada luego lee: Del mismo modo que en el caso anterior, podría ser muy grande y requiere un cambio de escala. Excepto que esta vez requerimos un cambio de escala de la coordenada , la velocidad y la presión : Esta elección de cantidades reescaladas nuevamente asegura que la ecuación de continuidad permanezca de la forma:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ Las ecuaciones de Navier-Stokes en términos de las cantidades reescaladas producen: que se escala adecuadamente con coeficientes de o más pequeño cuando tomamos los valores . Esto indica que la longitud, las velocidades y las escalas de presión se han redefinido: $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ y vemos que la longitud característica, la velocidad y la presión escalan respectivamente para , y no son , , como se suponía al principio sino , y . $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

En caso de que haya olvidado el punto de todo esto: para , es la escala de longitud característica; para , es la escala de longitud característica. Esto implica que la escala de longitud más pequeña es (generalmente) la escala de longitud característica. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Escalas de longitud dinámica:

Considere la difusión de una especie en un dominio semi-infinito. Como es infinito en una dirección, no tiene una escala de longitud fija. En cambio, se establece una escala de longitud mediante la 'capa límite' que penetra lentamente en el dominio. Esta 'longitud de penetración' como se llama a veces la escala de longitud característica se da como:

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

donde es el coeficiente de difusión y es el tiempo. Como se ve, no hay una escala de longitud involucrada, ya que está completamente determinada por la dinámica de difusión del sistema. Para ver un ejemplo de dicho sistema, vea mi respuesta a esta pregunta. $D$ $t$ $L$

— nluigi
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¿Qué quiere decir exactamente con disponible cuando dice " escala de longitud más pequeña disponible "? ¿Qué determina exactamente qué está disponible y qué no?

— Paul

@Paul 'disponible' se refería a escalas de longitud geométrica obvias como longitud, altura, ancho, diámetro, etc. Esto en contraste con escalas de longitud dinámica que son mucho menos obvias y están determinadas por la dinámica del sistema.

— nluigi

¿Existe alguna justificación particular para usar generalmente la "longitud más pequeña disponible" en lugar de cualquier otra longitud disponible?

— Paul

@Paul Los gradientes son generalmente los más grandes allí, por lo que la mayor parte del transporte se produce en escalas de longitud pequeña

— nluigi

gracias por armar esto idk si está bien aunque

— Dan Powers

Esta es una pregunta práctica, empírica, no teórica que pueda ser "resuelta" por las matemáticas. Una forma de responderlo es comenzar desde lo que el número de Reynolds significa físicamente: representa la relación entre las fuerzas de inercia "típicas" y las fuerzas viscosas en el campo de flujo.

Entonces, observa un patrón de flujo típico y elige la mejor medida de longitud para representar esa relación de fuerzas.

Por ejemplo, en el flujo a través de una tubería circular, las fuerzas viscosas (de corte) dependen del perfil de velocidad desde el eje de la tubería hasta las paredes. Si la velocidad a lo largo del eje de la tubería sigue siendo la misma, duplicar el radio reducirá (aproximadamente) a la mitad la velocidad de corte entre el eje y las paredes (donde la velocidad es cero). Por lo tanto, el radio o el diámetro son buenas opciones para la longitud característica.

Obviamente, Re será diferente (por un factor de 2) si elige el radio o el diámetro, por lo que en la práctica todos eligen la misma opción y todos usan el mismo valor crítico de Re para la transición del flujo laminar al turbulento. Desde un punto de vista práctico de ingeniería, el tamaño de una tubería se especifica por su diámetro, ya que eso es lo que es fácil de medir, por lo que también podría usar el diámetro para Re.

Para una tubería que es aproximadamente circular, puede decidir (mediante un argumento físico similar) que la circunferencia de la tubería es realmente la longitud más importante y, por lo tanto, comparar los resultados con tuberías circulares utilizando un "diámetro equivalente" definido como (circunferencia / pi).

Por otro lado, la longitud de la tubería no tiene mucha influencia en el patrón de flujo de fluido, por lo que para la mayoría de los propósitos sería una mala elección de la longitud característica para Re. Pero si está considerando el flujo en una "tubería" muy corta donde la longitud es mucho menor que el diámetro, la longitud podría ser el mejor número para usar como el parámetro que describe el flujo.

— alephzero
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No estoy de acuerdo con tu afirmación de que las matemáticas no pueden ayudar aquí. El procedimiento que describa sería inútil en muchos casos sin escalas de longitud obvias, como una capa límite. Esa es la pregunta en cuestión. El análisis dimensional de las ecuaciones de gobierno ha resultado bastante útil para encontrar escalas de longitud relevantes en capas límite laminar y turbulenta, por ejemplo, la escala de espesor de la capa límite laminar y escalas de longitud viscosa, respectivamente. La escala de campo lejano de las plumas térmicas es otro caso en el que es mucho menos obvio cómo hacer el análisis que sugiere, pero el análisis dimensional ayuda.

— Ben Trettel

@BenTrettel: estoy de acuerdo en que un análisis dimensional puede ser de gran ayuda para determinar la escala de longitud característica. Vea mi respuesta para un ejemplo 'simple'.

— nluigi

Hay tres formas principales de determinar qué grupos de términos (más generales que las escalas de longitud o tiempo) son relevantes. La primera es matemática, lo que podría implicar resolver un problema o un problema análogo o apropiado analíticamente y ver qué términos aparecen y hacer selecciones que simplifiquen las cosas según corresponda (más sobre esto a continuación). El segundo enfoque es por prueba y error, más o menos. El tercero es por precedente, generalmente cuando otra persona en el pasado ya ha realizado algún tipo de análisis mencionado anteriormente en este problema o en otros relacionados.

Hay varias formas de hacer análisis teóricos, pero una útil en ingeniería es ecuaciones de gobierno no dimensionalizantes. A veces, la longitud característica es obvia, como es el caso en un flujo de tubería. Pero otras veces, no hay longitudes características obvias , como es el caso de los flujos de corte libre, o una capa límite. En estos casos, puede hacer que la longitud característica sea una variable libre y elegir una que simplifique el problema . Aquí hay algunas buenas notas sobre la no dimensionalización , que tienen las siguientes sugerencias para encontrar escalas características de tiempo y longitud:

(siempre) Haga tantas constantes no dimensionales iguales a una como sea posible.

(generalmente) Haga que las constantes que aparecen en las condiciones iniciales o límite sean iguales a una.

(generalmente) Si hay una constante no dimensional que, si la pusiéramos igual a cero, simplificaría significativamente el problema, permitiría que permaneciera libre y luego vería cuándo podemos hacerlo pequeño.

El otro enfoque principal es resolver un problema por completo y ver qué grupos de términos aparecen. En general, la longitud relevante es obvia si está tomando el término de este tipo de análisis teórico, aunque este tipo de análisis a menudo es más fácil decirlo que hacerlo.

Pero, ¿cómo calculas una buena longitud si no tienes un análisis teórico para salir? A menudo, no importa demasiado la longitud que elija. Algunas personas parecen pensar que esto es confuso, porque les enseñaron que la transición de turbulencia ocurre a de 2300 (para una tubería), o 500,000 (para una placa plana). Reconozca que en el caso de la tubería, no importa si elige el diámetro o el radio. Eso solo escala el número crítico de Reynolds en un factor de dos. Lo que importa es asegurarse de que cualquier criterio que use sea consistente con la definición del número de Reynolds que usa y el problema que está estudiando . Es tradición que dicta que usemos el diámetro para los flujos de tubería. $Re$

Además, para ser general, el análisis o la experimentación podrían sugerir otro número, digamos el número de Biot, que también tiene una "longitud característica". Los procedimientos en este caso son idénticos a los ya mencionados.

A veces puede hacer un análisis heurístico para determinar la longitud relevante. En el ejemplo del número de Biot, esta longitud característica generalmente se da como el volumen de un objeto dividido por su área de superficie, porque esto tiene sentido para los problemas de transferencia de calor. (Volumen más grande = transferencia de calor más lenta al centro y área de superficie más grande = transferencia de calor más rápida al centro). Pero supongo que es posible derivar esto de ciertas aproximaciones. Puede hacer un argumento similar justificando el diámetro hidráulico .

— Ben Trettel
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Si elijo L arbitrariamente y el problema no es canónico, de modo que los regímenes de flujo y las soluciones analíticas no se conocen a priori, ¿entonces la prueba y el error son realmente la única forma?

— Paul

No lo creo. Es posible que pueda obtener algo útil al no dimensionar las ecuaciones de gobierno relevantes con escalas arbitrarias de longitud y tiempo. En general, este es mi primer paso cuando analizo un problema con ecuaciones de gobierno claras pero sin escalas de longitud o tiempo claras. Si está confundido acerca de cómo hacer esto en su caso particular, publíquelo como una pregunta aquí y lo intentaré.

— Ben Trettel