Ecuaciones diferenciales de un puente de carga (simplificado)

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Tengo problemas para calcular las ecuaciones diferenciales de un puente de carga simplificado.

El sistema está construido como se muestra en la imagen a continuación (solo un boceto):

Si uso el enfoque de Newton, obtengo las siguientes ecuaciones al descuidar la fricción, la resistencia del aire y los cambios en la longitud de la cuerda:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

Cuando miro las relaciones cinemáticas de la pinza (el círculo con el peso ) obtengo las siguientes ecuaciones. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

Sé los pesos y y la longitud pero los valores no son importantes en este momento. $m_k$ $m_G$ $l$

El objetivo es tener dos ecuaciones diferenciales al final. Una ecuación mostrará la relación entre la fuerza motriz y la trayectoria del carro (con derivaciones). La otra ecuación mostrará la relación entre la fuerza motriz y el ángulo de la cuerda . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

Después de eso quiero hacer las funciones de transferencia (transformación de Laplace, etc.) pero ese no es el problema.

El problema es que parece que no puedo encontrar esas ecuaciones. Mi mejor enfoque hasta ahora se ve así:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Eso significa que si

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Puedo decir:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

y si obtengo así: $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

De hecho, me estoy atascando aquí porque no puedo encontrar una manera de eliminar de las ecuaciones. Los teoremas de suma no me están ayudando en absoluto (o los estoy usando correctamente). $\varphi$

¿Alguien tiene una idea de cómo debo continuar en este punto? Espero no necesitar una solución completa. De hecho, estoy más interesado en hacerlo yo mismo y espero dar un empujón hacia la dirección correcta.

— tlp
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Supongo que probablemente necesites otra ecuación diferencial para el movimiento angular, que implicará la inercia, como:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

cuyos rendimientos:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

Entonces puede usar la aproximación de ángulos pequeños:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Mira el ejemplo de péndulo invertido .

— am304
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Especialmente el péndulo invertido es muy útil ... gracias por eso, no lo pensé

— tlp

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Cinemática y dinámica

Esos son los pasos para resolver problemas de esta naturaleza.

Analizar la cinemática del sistema.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

nota: es una matriz de rotación y . $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Tomando el tiempo derivados:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Usa la ecuación de Newton:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Sustituir : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Para el eje z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Use la segunda ley de Newton para la rotación:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Usando identidades de trigonometría:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

¡Hecho! Ahora puedes descansar ... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
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