Desarrollo de un modelo de ecuación diferencial estocástica para fibras de hormigón.

Estoy trabajando en el modelado de fibras de hormigón (fibras metálicas) como modelo matemático. Mi trabajo es para mi tesis. Soy estudiante de doctorado en análisis numérico, pero estoy trabajando en un proyecto de túnel real.

He tenido problemas con la distribución de fibras en el concreto. Estoy tratando de encontrar una manera de desarrollar una ecuación diferencial estocástica para las fibras.

Tengo las siguientes preguntas:

1. ¿Existe algún modelo matemático para la fibra de hormigón? (no modelo estadístico)
2. ¿Hay alguna información técnica disponible sobre cómo se comportan las fibras de hormigón?

Relacionado: ¿cómo calculo una estimación de las propiedades de un material compuesto?

La referencia al Manual Mil Militar 17F , p. 213 se resume aquí:

El cálculo de módulos elásticos efectivos es un problema muy difícil en la teoría de la elasticidad y solo unos pocos modelos simples permiten un análisis exacto. Un tipo de modelo consiste en matrices periódicas de fibras circulares idénticas, por ejemplo, matrices periódicas cuadradas o matrices periódicas hexagonales ... Estos modelos se analizan mediante procedimientos numéricos de diferencias finitas o elementos finitos. Tenga en cuenta que la matriz cuadrada no es un modelo adecuado para la mayoría de los Compuestos Unidireccionales, ya que no es transversalmente isotrópico.

El modelo de conjunto de cilindro compuesto (CCA) permite la determinación analítica exacta de módulos elásticos efectivos ... Considere una colección de cilindros compuestos, cada uno con un núcleo de fibra circular y una carcasa de matriz concéntrica. El tamaño de los cilindros puede variar, pero la relación entre el radio del núcleo y el radio de la carcasa se mantiene constante. Entonces...

(Donde es la fracción de volumen de fibras a la cantidad total de material. es una propiedad de la matriz, es una propiedad de la fibra, y son el módulo elástico, corte módulo y propiedades de módulo de volumen. El módulo de volumen, k, se puede calcular para materiales isotrópicos como , donde es la relación de Poisson. G sin un subíndice es un error tipográfico y debe reemplazarse con )$V_f$$X_{m}$$X_{f}$$E, G, k$$\frac{E}{2(1-\nu-2\nu^2)}$$\nu$$G_m$

Una alternativa preferida es utilizar un método de aproximación que se ha denominado Esquema Generalizado Autoconsistente (GSCS). De acuerdo con este método, el esfuerzo y la deformación en cualquier fibra se aproximan incrustando un cilindro compuesto en el material compuesto de fibra efectivo. Las fracciones de volumen de fibra y matriz en el cilindro compuesto son las de todo el compuesto. Tal análisis ... da como resultado una ecuación cuadrática para el módulo de corte ...

El algoritmo neto es calcular el módulo de masa efectivo , la relación de 12 poisson y el módulo de Young primero, luego usar la fórmula cuadrática listada para calcular el segundo módulo de corte, . Usando , , , y se pueden calcular. Estos se encuentran en el sistema de coordenadas local de la fibra. Para traducir a coordenadas globales:$k^*$$\nu_{12}^*$$E_{1}^*$$G_2^*$$G_2^*$$E_2^*$$\nu_{23}^*$$G_1$

Luego podemos rotar la fibra para encontrar las propiedades del compuesto unidireccional para encontrar las propiedades en una dirección arbitraria:

donde Qbar es la matriz girada y Q es la matriz inversa original. Para un modelo estocástico, el ángulo de la fibra y la fracción de volumen pueden ser las entradas, y las salidas serían las propiedades resultantes. Tenga en cuenta que para una distribución aleatoria uniforme, es posible integrar la matriz Qbar ya que theta varía de 0 a , luego divida por para obtener una matriz simétrica. Los resultados de este método coinciden bien con los datos sobre materiales de fibra aleatorios en la industria de la fibra de vidrio.$2\pi$$2\pi$

Al preguntar sobre una ecuación diferencial, tendríamos que revisar la teoría apropiada a partir de este momento. Por ejemplo, la ecuación clásica de placas, , funciona en parte. Tenemos que incluir otra variable estoicastica, la altura de la fibra dentro de un bloque de concreto. Cuanto más cerca esté la fibra de la parte superior, más rígido estará el bloque contra la carga de flexión. El bloque se puede dividir en segmentos arbitrarios de espesor uniforme, y se agrega el volumen de las fibras en cada segmento, generando diferentes Qbars. Una distribución diferente daría como resultado diferentes propiedades del bloque:

Esta matriz, llamada matriz ABD, redefiniría la ecuación de la placa de la siguiente manera:

para el caso más simple (matriz B irrelevante, sin carga transversal, etc.). Los casos se vuelven más extraños a partir de ahí, pero pueden derivarse de las derivaciones originales, pero se detienen cuando el modelo dice asumir que el estrés es proporcional a la mancha.