¿Cuánto tiempo tarda el polvo en asentarse en el aire?

Para que esta sea una pregunta manejable, agreguemos algunas simplificaciones.

Las partículas de polvo pueden describirse bien como esferas uniformes de radio y densidad . $R$ $\rho$
El espacio está cerrado y no hay flujo masivo, es decir, el aire todavía está en un sentido macroscópico.
El aire está a la temperatura y presión estándar (STP) ; y . $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

En estas condiciones, ¿cuál es el tiempo de sedimentación de las partículas de polvo? ¿A qué tamaño / densidad se vuelve importante el movimiento browniano del aire?

fluid-mechanics air-quality

— Chris Mueller
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Respuestas:

El tiempo de sedimentación de partículas sólidas en el aire depende principalmente del tamaño de la partícula. Las diferentes fuerzas se vuelven significativas dependiendo del rango de tamaño del que esté hablando, por lo que es difícil dar una respuesta que sea concisa y precisa.

Haré todo lo posible para sintetizar los puntos importantes en lugar de repetir una referencia; Dicho esto, cuando se trata de aplicaciones prácticas en el campo de la calidad del aire, el texto que recomiendo es Control de la contaminación del aire por Cooper & Alley . En particular, voy a obtener muchos de los detalles para esta respuesta de la Sección 3.3: Comportamiento de partículas en fluidos.

Resumen de asentamiento gravitacional

El polvo no se comporta como las bolas de bochas de Galileo ; Las partículas pequeñas de diferentes tamaños caen a diferentes velocidades. Para partículas sólidas, la variación en la velocidad de sedimentación se debe principalmente a la influencia de las fuerzas de arrastre.

Es de esperar que el movimiento browniano "haga malabarismos" con partículas muy pequeñas, evitando que se asienten. Las partículas de polvo suficientemente pequeñas pueden permanecer atrapadas indefinidamente, pero, en términos prácticos, eso tiene más que ver con que el aire nunca esté completamente quieto que con el movimiento browniano. En el contexto de la calidad del aire, nos preocupa el movimiento browniano principalmente cuando consideramos la impactación (por ejemplo, en gotas de agua en un depurador húmedo de PM ) o la deposición (por ejemplo, en el follaje cerca de las carreteras ). Ninguno de estos mecanismos es relevante para el caso de la solución gravitacional pura.

De hecho, cuando una partícula sólida se vuelve lo suficientemente pequeña como para comenzar a considerar el movimiento de moléculas de aire discretas, encontramos que en realidad se asienta un poco más rápido de lo que implica la ley de Stokes . Esto es cuando aplicamos el factor de corrección de deslizamiento de Cunningham determinado experimentalmente para reducir el coeficiente de arrastre de Stokes. El factor de corrección en el aire está relacionado con el diámetro de partícula y la ruta libre media por: $d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2,0 \frac{λ}{{re}_{pag}} [1.257 + 0,40 Exp (- 0,55 \frac{{re}_{pag}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

En cuanto a lo que realmente significa "lo suficientemente pequeño", el texto de Cooper & Alley dice:

Para partículas de menos de 1 micra, el factor de corrección de deslizamiento siempre es significativo, pero se acerca rápidamente a 1,0 a medida que el tamaño de partícula aumenta por encima de 5 micras.

Eso podría ser una justificación suficiente para ahorrarse el tiempo o los ciclos de procesamiento necesarios para calcular el factor de corrección cuando todo lo que le preocupa son partículas relativamente grandes.

Ecuación de movimiento

Podemos derivar una ecuación de movimiento en una dimensión de la siguiente manera.

Aplique la segunda ley de Newton a la partícula en términos de su velocidad relativa en el fluido. * ${metro}_{pag} v_{r}^{'} = F_{sol} - F_{si} - F_{re}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
La ley de Stokes da la fuerza de arrastre en términos de la viscosidad del fluido y la velocidad y el diámetro de la partícula; La fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado. ${metro}_{pag} v_{r}^{'} = {metro}_{pag} sol - {metro}_{un yo r} sol - 3 π μ re v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
$v_{r}^{'} = sol - \frac{{metro}_{un yo r}}{{metro}_{pag}} sol - \frac{3 π μ re}{{metro}_{pag}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
$v_{r}^{'} = sol - \frac{ρ_{un yo r}}{ρ_{pag}} sol - \frac{3 π μ re}{ρ_{pag} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
$V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 años μ}{ρ_{pag} {re}^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{un yo r}}{ρ_{pag}}) sol$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

τ = \frac{ρ_{pag} {re}^{2}}{18 años μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

$\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{un yo r}}{ρ_{pag}}) sol

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{* El sistema de coordenadas para este ejemplo se define de modo que la velocidad de caída sea positiva.}

Velocidad terminal

$\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} sol

$v_t = \tau' g$

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - {mi}^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

$t = 4 \tau'$

Polvo más grande

Esto está muy bien para el polvo más pequeño, pero ¿qué pasa con las cosas más grandes que entran en tus ojos y te hacen toser? Bueno, malas noticias de Cooper & Alley:

Para una partícula mayor de 10-20 micras que se asienta a su velocidad terminal, el número de Reynolds es demasiado alto para que el análisis del régimen de Stokes sea válido. Para estas partículas más grandes, se requieren medios empíricos para obtener la velocidad de sedimentación ...

"Medios empíricos" es una buena manera de decir descifrarlo usted mismo o acostumbrarse a leer gráficos que trazan curvas ajustadas con exponentes decimales feos a los resultados de experimentos anteriores.

— Aire
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v_{terminal} = \frac{2 sol R^{2} (ρ_{partícula} - ρ_{aire})}{9 9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

Encontré algunos datos más precisos para partículas de diferentes radios, dados en semividas; Un poco más de datos está aquí .

Aquí se proporciona un gráfico del tiempo de sedimentación del carbón, el hierro y el cemento , que ilustra aún más la relación no lineal, inversa-exponencial entre los radios de polvo y el tiempo de sedimentación.

La teoría del asentamiento se aplica aquí a las nebulosas solares. No estoy seguro de cuántas de las fórmulas se pueden aplicar aquí, pero algunas pueden ser útiles.

t = \frac{ρ_{polvo}}{ρ_{aire}} \frac{R}{v_{térmico}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$

v_{térmico} = \sqrt{\frac{8 k_{si} T}{π μ {metro}_{partícula}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
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Comienzas con "para una partícula individual ...". ¿La idea también es válida para una densa niebla de partículas?

— Trilarion

@Trilarion Lo es, pero tendrías que hacer diferentes cálculos para cada uno.

— HDE 226868

@ Air Whoops, arregló las matemáticas. Lo que quise decir sobre la altura fue que el simple hecho de conocer la velocidad terminal no le permitirá calcular el tiempo de asentamiento; Necesitas conocer las condiciones iniciales.

— HDE 226868

Cierto. Esas diapositivas de nebulosa son realmente interesantes. Traen otra limitación del enfoque de "esfera uniforme", que es que las partículas submicrónicas tienden a combinarse entre sí para formar partículas submicrométricas y finas más grandes. Algunos de ellos también son reactivos o se forman a partir de precursores en el aire. Muchas complejidades y un área de mucha investigación en curso.

— Aire

@Air Dado lo mucho que amo la astrofísica, y el área específica (discos de escombros) en estudio, fue una gran sorpresa aprender algo nuevo al investigar algo muy diferente, la calidad del aire.

— HDE 226868