¿Cuál es la interpretación física del segundo término en el tensor de estrés viscoso en las ecuaciones de Navier-Stokes?

He estado buscando esta respuesta por un tiempo. He leído numerosos textos e incluso he visto algunas conferencias en línea, pero a menudo esto nunca se explica y solo se da. El término de estrés viscoso en las ecuaciones de Navier-Stokes parece

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Ahora, el término es bastante fácil de entender, ya que es solo difusión de velocidad, pero me cuesta encontrar una interpretación física del término . Después de ampliar este término, terminé con $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

lo que parece implicar que este efecto no está presente en un campo de velocidad libre de divergencia, pero todavía no puedo encontrar ni encontrar ninguna intuición física sobre lo que realmente significa este término. ¿Alguien entiende lo que este término representa físicamente?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Adam O'Brien
fuente

Además: tienes razón en que el término está ausente en un flujo incompresible. Parece que tiene en cuenta la difusión del impulso debido a los gradientes de densidad. Dos parcelas adyacentes de fluido pueden tener la misma velocidad pero un momento diferente, no hay tensión de corte entre ellos, pero el momento se difundirá.

— Dan

Esta pregunta es sobre el tema de Ingeniería. He eliminado varios comentarios que sugieren otros sitios para esta pregunta. En parte por pedir una comprensión aplicada de la ecuación, pero también porque esto es parte de la mecánica del continuo. Recuerde que está bien estar un poco celoso de su sitio

Meta discusión relacionada: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

El punto sobre la presencia de un gradiente de impulso debido a un gradiente de densidad diferente de cero fue bueno. ¡Gracias a todos por sus respuestas!

— Adam O'Brien

Respuestas:

No debe separar esos dos términos en busca de interpretación física. El término es el tensor de la velocidad de deformación . El flujo de impulso (o estrés) debido al hecho de que tenemos un fluido que fluye se explica por todo el término . En la ecuación NS, ambos términos pueden considerarse densidades de fuerza (fuerza por unidad de volumen). Tiene razón, que el segundo término es cero para flujos incompresibles (ver aquí ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

ACTUALIZACIÓN: La derivación completa del tensor de velocidad de deformación es compleja y puede estar fuera de alcance aquí. Si está interesado, he descubierto que un buen recurso es Introducción a la mecánica de fluidos de Whitaker. Brevemente, aceptemos que el tensor representa la velocidad de deformación y el sólido como el movimiento de rotación. Cualquier tensor puede descomponerse de la siguiente manera: $\nabla \vec{u}$ El primer término generalmente se llama tensor de velocidad de deformación, es simétrico y se puede demostrar que no incluye ningún movimiento de rotación rígido. El segundo término generalmente se llama tensor de vorticidad, es asimétrico y puede demostrarse que no contribuye a la tasa de tensión y que representa un movimiento rígido como el de rotación.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Salomon Turgman
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Esto es lo que encontré al investigarlo, pero estaba tratando de encontrar algo así como una derivación del tensor de velocidad de deformación antes de comprometerme a una respuesta, para entender por qué incluye la matriz regular y la transpuesta.

— Trevor Archibald

Gracias, pasé por la derivación del tensor de la tasa de deformación de la geometría como usted sugirió, y eso me ayudó mucho.

— Adam O'Brien

Estoy de acuerdo con @sturgman, uno no debe mirar las partes individuales sino tratar de entenderlas en su contexto.

Mirando la versión muy básica de la ecuación de Navier-Stokes (usando la notación de Einstein ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

La parte underbraced en su original se puede reescribir.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Lo que lleva a:

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

En notación simbólica esto debería verse así:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
fuente

Lo siento :-( No fue mi intención.

— Peter - Restablecer Mónica