Teorema de transporte de Reynolds y derivada de material euleriano

El problema y mi trabajo hasta ahora están en la imagen.

Comienzo con la ecuación (2.23) y uso el teorema de divergencia para expresar el segundo término como la parte integral de la superficie de la ecuación problemática. A partir de ahí, termino rápidamente con lo que parece ser una ecuación que indica que la derivada parcial del campo escalar en x es la misma que la derivada completa. Esto implicaría que la integral de la parte convectiva es cero. Como este es un caso general, no creo que pueda hacer esa declaración. O he cometido un error en alguna parte o no veo cómo proceder desde aquí.

Agradecería ayuda para determinar cuál de esos dos es y cómo debo proceder desde aquí.

Una cosa que me llamó la atención repetidamente es la definición de la función para el problema. Por definición y contexto, creo que se supone que x pequeño siempre es una función del tiempo y la posición inicial X, como en la ecuación (2.20). Además, no entiendo completamente por qué el segundo término de la expresión final en (2.20) debe evaluarse en x.

Con 2.24, Desde 2.20,

$$\begin{array}{l}\frac{d}{{dt}}\int_{CV}^{} {\phi d{\bf{x}} = } \int_{CV}^{} {\left( {\frac{{d\phi }}{{dt}} + \phi \frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {x_i}}}} \right)d{\bf{x}}} \\ = \int_{CV}^{} {\frac{{d\phi }}{{dt}}d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\phi \frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {x_i}}}d{\bf{x}}} \end{array}$$ $$= \int_{CV}^{} {\left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_i}}}\frac{{\partial {x_i}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}} \right)d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\phi \frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {x_i}}}d{\bf{x}}}$$ $$\begin{array}{l} = \int_{CV}^{} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_i}}}\frac{{\partial {x_i}}}{{\partial t}}d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\phi \frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {x_i}}}d{\bf{x}}} \\ = \int_{CV}^{} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_i}}}{v_i}d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\phi \frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {x_i}}}d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}d{\bf{x}}} \\ = \int_{CV}^{} {\left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_i}}}{v_i} + \phi \frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {x_i}}}} \right)d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}d{\bf{x}}} \end{array}$$ De la diferenciación de la multiplicación, $$= \int_{CV}^{} {\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\phi {v_i}} \right)d{\bf{x}}} + \int_{CV}^{} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}d{\bf{x}}}$$ Finalmente, usa el teorema de divergencia, $$= \int_{CS}^{} {\phi {v_i}d{\bf{s}}} + \int_{CV}^{} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}d{\bf{x}}}$$