Transformaciones de tensión de plano 2D

Mi libro de resistencia de materiales proporciona la siguiente ecuación para determinar el componente x del esfuerzo normal que actúa en todos los planos posibles de un elemento bidimensional.

σ_{x^{'}} = \frac{1}{2} (σ_{x} + σ_{y}) + \frac{1}{2} (σ_{x} - σ_{y}) \cos (2 θ) + τ_{x y} \sin (2 θ)

$\sigma_{x^{\prime}} = \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\cos(2\theta) + \tau_{xy}\sin(2\theta)$

Mi pregunta es: ¿en qué orientación se asumen las variables no preparadas? Mi instinto es que la orientación inicial en la que se dan las cantidades no cebadas es irrelevante, solo importa el valor numérico de los componentes y el ángulo desde el cual se miden los nuevos componentes (cantidades cebadas).

Por ejemplo, si se le da un elemento 2D que inicialmente está inclinado a 60 grados y tiene los valores de , y en esa orientación y desea encontrar en la orientación de 0 grados, calcularía la ecuación anterior usando un valor de porque debe medir en relación con el lugar donde "comienza". $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\tau_{xy}$ $\sigma_{x^{\prime}}$ $\theta = -60$

¿Es correcto o tengo esto completamente confundido?

stresses

— Nukesub
fuente

La relación de transformación para tensiones 2D en forma de matriz es donde Al escribir las tensiones en forma de matriz, suponemos que los componentes de la tensión se han expresado en términos de un sistema de coordenadas con vectores base ( ) y que el ángulo se mide en sentido antihorario con respecto al vector .

σ^{'} = Q^{T} σ Q

$\boldsymbol{\sigma}' = \mathbf{Q}^T\, \boldsymbol{\sigma}\, \mathbf{Q}$

σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & τ_{x y} \\ τ_{x y} & σ_{y y} \end{matrix}], Q = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

$\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} ~,~~ \mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$

e_{x}, e_{y}

$\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y$

θ

$\theta$

e_{x}

$\mathbf{e}_x$

Por lo tanto, el ángulo siempre es cero cuando mira a lo largo del , por definición. $\theta$ $\mathbf{e}_x$

Si trabaja el álgebra, encontrará que (suponiendo que no haya cometido errores)

[\begin{matrix} σ_{x x}^{'} \\ σ_{y y}^{'} \\ τ_{x y}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos^{2} θ & \sin^{2} θ & \sin 2 θ \\ \sin^{2} θ & \cos^{2} θ & - \sin 2 θ \\ - \frac{1}{2} \sin 2 θ & \frac{1}{2} \sin 2 θ & \cos 2 θ \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ τ_{x y} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx}' \\ \sigma_{yy}' \\ \tau_{xy}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2\theta & \sin^2\theta & \sin2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta & -\sin2\theta \\ -\tfrac{1}{2}\sin 2\theta & \tfrac{1}{2}\sin 2\theta & \cos 2\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \tau_{xy} \end{bmatrix}$

La relación inversa es En forma expandida, Si los componentes de tensión inicial son con respecto a un conjunto de ejes iniciales que no están alineados con ( ) y desea calcular los componentes a lo largo de , etc.Tendrás que usar la relación inversa.

Q σ^{'} Q^{T} = σ

$\mathbf{Q} \,\boldsymbol{\sigma}' \, \mathbf{Q}^T= \boldsymbol{\sigma}$

[\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ τ_{x y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos^{2} θ & - \sin^{2} θ & - \sin 2 θ \\ \sin^{2} θ & \cos^{2} θ & \sin 2 θ \\ \frac{1}{2} \sin 2 θ & - \frac{1}{2} \sin 2 θ & \cos 2 θ \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x}^{'} \\ σ_{y y}^{'} \\ τ_{x y}^{'} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \tau_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2\theta & -\sin^2\theta & -\sin2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta & \sin2\theta \\ \tfrac{1}{2}\sin 2\theta & -\tfrac{1}{2}\sin 2\theta & \cos 2\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx}' \\ \sigma_{yy}' \\ \tau_{xy}' \end{bmatrix}$

e_{x}, e_{y}

$\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y$

e_{x}

$\mathbf{e}_x$

— Biswajit Banerjee
fuente

Gracias por la respuesta. El poco sobre cómo lo definimos realmente me lo aclaró. Otra forma de hacerlo me di cuenta es que podría resolver las ecuaciones de transformación 2D para las tensiones en la orientación de 0 grados (3 ecuaciones y 3 incógnitas). Supongo que podrías intentar hacerlo visualmente usando Mohrs Circle también. En cuanto a su matriz de transformación ortogonal, tengo curiosidad, ¿es lo mismo que la versión 3-D (9 elementos, 3 por 3) que acaba de reducir la tercera fila y la tercera columna (pero exactamente los mismos elementos)?

— Nukesub

He dedicado un poco de tiempo a esto y todavía no estoy claro. En casi cualquier recurso que encuentro, nunca aborda cómo resolver este tipo de problemas para los elementos YA rotados. Estoy confundido porque no puedo obtener la respuesta correcta usando el círculo de Mohr (resolviendo gráficamente). PUEDO obtener la respuesta correcta usando las ecuaciones de transformación o la forma matricial que muestra arriba.

— Nukesub

La versión 3D de la matriz de rotación tendrá 0 elementos fuera de la diagonal en la tercera fila / columna y 1 en el tercer elemento diagonal (para la rotación alrededor del eje ). La matriz de estrés tendrá ceros en los elementos correspondientes para su problema. Para la rotación 3D general, las cosas se vuelven más complejas.

z

$z$

— Biswajit Banerjee

Para una comprensión más profunda de los círculos de Mohr, vea mech.utah.edu/~brannon/public/Mohrs_Circle.pdf (comenzaría con el apéndice). Para obtener el máximo beneficio, esta redacción debe leerse cuidadosamente y los ejemplos resueltos. Una vez que haya dominado las ideas, debería poder aplicarlas a su caso.

— Biswajit Banerjee

Gracias por el recurso Haré lo que dices y veré si puedo tener sentido aplicar el círculo de Mohr al elemento ya girado.

— Nukesub