¿Cómo se puede calcular el cambio en la energía térmica cuando el calor específico varía con la temperatura?

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Muchos materiales tienen un calor específico que varía con la temperatura, especialmente a medida que el cambio de temperatura aumenta. ¿Cómo se calcula la energía térmica que recibe un objeto en este caso? ¿Podemos simplemente usar la capacidad calorífica específica a la temperatura inicial o final?

— Max Ning
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En una línea similar a mi respuesta sobre el cálculo de la fuerza de palanca en una situación continua ; necesitas usar la integración.

Empieza tomando la ley de calor estándar con la que está familiarizado con y reemplazando s con diferenciales: Esta nueva ecuación dice: Para un cambio infinitesimal (muy pequeño) de temperatura, obtengo un cambio infinitesimal (muy pequeño) en el calor. En el límite de los infinitesimales, todo es lineal, por lo que esta ecuación lineal simple aún se mantiene. Ahora simplemente sume todos los cambios infinitesimales en el flujo de calor utilizando la integración Si realmente no quieres hacer la integración, está bien. Matlab no tendrá problemas para hacer esto por usted, y el enfoque de Matlab funciona incluso si no tiene una función analítica para describir

Δ Q = c m Δ T

$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$

Δ

$\Delta$

d Q = c (T) m d T .

$dQ=c(T)\ m\ dT.$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} c (T) d T .

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$

c (T)

$c(T)$ (es decir, solo tiene datos). Si no tiene acceso a Matlab, use Python . Es gratis, de código abierto e increíblemente poderoso.

— Chris Mueller
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No me malinterpreten, soy un gran admirador de Python, pero GNU Octave parece encajar mejor en el rol de alternativa gratuita a MATLAB. Por un lado, es compatible con archivos .mat.

— Air

@Air Eso puede ser cierto; Realmente nunca he usado Octave. Sin embargo, el cambio a Python desde Matlab no es difícil, y creo que es un lenguaje mejor desarrollado que Octave. También sé que las rutinas de integración numérica de Python (parte de SciPy) son robustas porque las he usado varias veces.

— Chris Mueller

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Ninguno. En este tipo de situación, no existe una solución lineal "simple"; necesita usar cálculo integral para sumar el calor incremental absorbido a cada temperatura en el camino. El único momento en que este cálculo se convierte en una simple multiplicación es cuando la cantidad que se integra (el calor específico) es una constante en el rango de la integración.

— Dave Tweed
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Ninguno.

Como ya se ha señalado, esto no es trivial, pero aquí hay un método sugerido:

mida con precisión una cierta cantidad de combustible, luego queme ese combustible y use un material con una capacidad de calor específica muy constante o bien conocida para determinar cuánta energía recibe su pieza de prueba a través del tiempo registrando su temperatura.
use la misma cantidad de combustible, en el mismo aparato, con una pieza de prueba de propiedades geométricas idénticas pero con un material diferente y repita el experimento. Esta vez, asume la energía que recibe su pieza de prueba según el paso 1 y utiliza la temperatura registrada para determinar la capacidad calorífica específica del material.
ahora que tiene la curva de capacidad de calor específica para este material, úsela como cualquier otro material pero integre su curva sobre el intervalo de temperatura que mide para determinar la cantidad de energía térmica absorbida.

Este método no es perfecto, se basa en una superposición lineal que no es perfectamente válida para la temperatura ya que algunos factores de intercambio de calor tienen una dependencia no lineal, pero no es un mal método para "calibrar" su material a un nivel básico.

— thepowerofnone
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Intentaría adaptar el material a un modelo.
El modelo Debye es el "estándar". (lo siento, el artículo wiki es un poco exagerado). En el modelo Debye, el material puede ajustarse con una "temperatura Debye".

Editar bajo petición. (aunque confiaría en el artículo wiki sobre mi respuesta). A altas temperaturas, (pero no demasiado) los materiales tienen una capacidad calorífica que es igual a 3kT * N, donde N es el número de átomos. (Son solo los átomos y no los electrones los que cuentan para la capacidad calorífica, lo cual es interesante ...) A medida que la temperatura baja, los átomos dejan de temblar tanto y algunos de los modos vibratorios se "congelan". Los modos tienen una energía tan alta que no hay suficiente energía térmica para excitarlos. La temperatura de Debye es una medida aproximada de dónde se congelan los modos y la capacidad de calor comienza a disminuir.

— George Herold
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¿Podría agregar un poco más de información en lugar de solo un enlace?

— Hazzey

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Si tiene una ecuación , el problema es simple (siempre que la integración no ningún problema) ya que como Chris Mueller respondió. $Cp=f(T)$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} C p (T) d T

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$

Permítanos admitir que solo conoce y . Entonces, interpola linealmente para obtener e, integrando, entonces obtendrás que muestra que solo necesita usar el valor promedio de los conocidos . $Cp(T_i)$ $Cp(T_f)$

C p (T) = C p (T_{i}) + \frac{C p (T_{f}) - C p (T_{i})}{T_{f} - T_{i}} (T - T_{i})

$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$

Δ Q = m \frac{C p (T_{f}) + C p (T_{i})}{2} (T_{f} - T_{i})

$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$

C p

$Cp$

— Claude Leibovici
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c_{p}

$c_p$

δ T

$\delta T$

c_{p}

$c_p$

T

$T$

C p

$Cp$