Estoy tratando de discretizar el PDE: $$ \ phi \ frac {\ partial c} {\ partial t} + \ frac {\ partial j} {\ partial x} = 0 $$ donde $ c $ es una función de $ x $ y $ t $, y $ j = qc-D (q) \ frac {\ partial c} {\ partial x} $, $ q $ es el flujo de Darcy (función de $ x $ y $ t $) y $ D (q) $ es el coeficiente de difusión / dispersión, y $ \ phi $ es una constante.
durante el intervalo $ (x_ {i-1/2}, x_ {i + 1/2}) $
Mi progreso
$$ \ begin {align *} & amp; \ phi \ frac {\ partial c} {\ partial t} + \ frac {\ partial j} {\ partial x} = 0 \\ & amp; \ Rightarrow \ frac {\ partial c} {\ partial t} + \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left (\ frac {qc} {\ phi} -D (q) \ frac { \ partial c} {\ partial x} \ right) = 0 \\ & amp; \ Rightarrow \ frac {\ partial} {\ partial t} \ int_ {x_ {i-1/2}} ^ {x_ {i + 1/2}} c \ dx \ + \ left | \ frac {qc} {\ phi} -D (q) \ frac {\ partial c} {\ partial x} \ right | _ {x_ {i-1/2}} ^ {x_ {i + 1/2}} = 0 \ end {align *} $$
¿Qué hago para simplificar la expresión en términos de los valores de los términos $ c_i, q_i $? (Estoy intentando que matlab ejecute esto de forma iterativa).
Convenciones
$ x_i $ es el punto medio del intervalo $ i $ th.
$ \ delta x $ es la longitud del intervalo.
$$ f_i = \ frac1 {\ delta x} \ int_ {x_ {i-1/2}} ^ {x_ {i + 1/2}} f \ dx $$