Derivación para estimar la frecuencia natural del puente en Eurocódigos

Los Eurocódigos dan la siguiente ecuación para estimar un "puente simplemente soportado sujeto a flexión solamente" *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Dónde

• $n_0$ es la frecuencia natural en hercios
• $\delta_0$ es la desviación en el tramo medio bajo acciones permanentesen mm

La ecuación parece extraída de la nada, y no hay explicación de dónde proviene la constante 17.75. Como ingeniero, soy reacio a usar una fórmula que no entiendo, pero más que eso sería útil aprender los fundamentos detrás de ella para ver si se puede modificar para trabajar con otras condiciones de soporte.

¿Alguien puede proporcionar una derivación / origen fundamental a esta relación?

* La referencia completa es: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Nota 8] (Ecuación 6.3), si eso ayuda.

Si simplificamos todo el puente en un haz delgado en 2D con un tamaño de sección constante, sin amortiguación interna y sujeto solo a pequeñas desviaciones verticales, entonces la frecuencia natural se determina mediante un movimiento armónico simple:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Donde es la frecuencia natural, k es la relación entre la fuerza restauradora y la deflexión (la 'rigidez del resorte' equivalente) ym es la masa por unidad de longitud de la viga.$n_0$$k$$m$

En una viga, la fuerza restauradora es la cizalladura interna causada por la forma desviada. Como la fuerza exhibida por una viga es proporcional a la tasa de cambio de corte, que está relacionada con la rigidez ( ) y la tasa de cambio de momento se puede mostrar (nota: la desviación es proporcional a la longitud del haz) que:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

Donde es el módulo de Young del material del haz, I es el segundo momento de inercia de la sección del haz, L es la longitud del haz y α es una constante determinada por las condiciones de soporte y el número de modo de la respuesta.$E$$I$$L$$\alpha$

Toda la literatura que he visto expresa esto de una manera que es más conveniente para la ecuación de frecuencia:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Sustituyendo de nuevo,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

El cálculo del valor de es bastante complicado, y existe un enfoque exacto para soluciones simples y métodos aproximados que incluyen el método de energía libre y Raleigh Ritz. Aquí se pueden encontrar algunas desviaciones para una viga simplemente apoyada .$K$

Cabe señalar que esta ecuación habría sido suficiente, pero como requiere una tabla para y el cálculo de un valor de E I que representa el puente como un haz homogéneo, los autores del Eurocódigo parecen haber decidido que sería reintegrar mejor la suposición de que k es constante a lo largo de la viga.$K$$EI$$k$

Para hacer esto, han utilizado la siguiente relación:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

Donde es la deflexión máxima, C es una constante dictada por las condiciones de soporte, w es una carga constante uniformemente distribuida a lo largo de la viga.$\delta_0$$C$$w$

Bajo peso propio , donde g es la aceleración debida a la gravedad (9810 mm / s ² ; como deflexión en esta ecuación se da en mm ).$w = gm$$g$

Por lo tanto (reorganizado :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Y entonces:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

$K$$C$

Para una viga simplemente apoyada:

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Aquí hay una posible respuesta.

Encontré este documento (no estoy seguro de la fuente exacta), que contiene una derivación relacionada:

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Hay más información sobre esto en el libro de Ladislav Fryba "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Si lee el capítulo 4, verá la fórmula 4.53 en la página 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Esta ecuación se deduce de la fórmula para la deflexión de envergadura media de una viga simplemente soportada cargada por una carga uniformemente distribuida μg

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

que se sustituye en

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

Sustituyendo esas ecuaciones entre sí usando g = 9.81 m / s ^ 2 da

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

La evaluación numérica de esta ecuación produce la ecuación deseada.

La dinámica para ingenieros como yo, generalmente preocupados por la estática, puede estar llena de errores fáciles de cometer y malentendidos. Esta fórmula es muy útil para vigas simplemente soportadas, ya que puede relacionarse rápidamente con las cargas de peso propio aplicadas y una proporción de carga viva (generalmente 10%) sin tener que entrar en complicaciones.

También Cantilevers puede usar una constante similar (19.8 con udl, 15.8 con carga de punto final). Todo se rompe con vigas y marcos continuos.

Construyo una verificación de frecuencia natural con todos los diseños de haces para realizar un seguimiento. Para estructuras de madera, por ejemplo, 8Hz es el objetivo y para pisos de concreto / marcos de acero 4-6Hz, como primer paso.

También existen métodos básicos y listos para evaluar las respuestas dinámicas. Tengo que decir que la dinámica aún se me escapa y me confunde, ¡y siempre lo hará! Así que me mantengo lo más simple posible.