La ecuación debe ser
$$ J \, \ ddot {\ theta} + K \, (\ theta- \ theta_T) + C \, \ dot {\ theta} = 0 $$
donde $ \ theta_T $ es el ángulo objetivo y la posición de descanso para el resorte.
Las cosas se simplifican con la siguiente sustitución.
$$ \ begin {cases}
K = J \ Omega ^ 2 \\
C = 2 \ zeta J \ Omega
\ end {cases} $$
donde $ \ Omega $ es un parámetro que se relaciona con la rigidez, y $ \ zeta $ un parámetro que se relaciona con la amortiguación.
La solución general de la ecuación $ \ ddot {\ theta} + \ Omega ^ 2 (\ theta- \ theta_T) + 2 \ zeta \ Omega \ dot {\ theta} = 0 $ es
$$ \ theta = \ theta_T + C_1 \ exp \ left (- \ Omega t \ left (\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} + \ zeta \ right) \ right) + C_2 \ exp \ left (- \ Omega t \ left (\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta \ right) \ right) $$
donde se encuentran los coeficientes $ C_1 $ y $ C_2 $ según las condiciones de los límites. En este caso, la barra está en reposo cuando $ t = 0 $ y por lo tanto
$$ \ begin {cases}
C_1 = \ frac {\ theta_T} {2} \ left (\ frac {\ zeta} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} - 1 \ right) \\
C_2 = - \ frac {\ theta_T} {2} \ left (\ frac {\ zeta} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} + 1 \ right)
\ end {cases} $$
La respuesta más rápida es cuando $ \ zeta \ rightarrow 1 $ ya que minimiza el valor del primer exponente. Con una amortiguación óptima, la solución se convierte en
$$ \ theta = \ theta_T \ left (1 - {\ rm e} ^ {- \ Omega t} (1+ \ Omega t) \ right) $$
y $ C = 2 J \ Omega $.
Pero como dijo, no puede encontrar el $ \ Omega $ correcto para alcanzar el ángulo objetivo en el momento especificado porque $ \ Omega $ no puede estar aislado de la solución.
Pero se puede aislar de la solución general cuando $ \ zeta & gt; 1 $. De los dos términos, el primero se acerca a cero mucho más rápido que el segundo. Podemos encontrar el coeficiente $ \ varphi = \ Omega t $ que hace que el segundo exponente esté cerca de cero por un valor $ \ epsilon $ (en grados).
$$ \ izquierda. \ frac {\ theta_T} {2} \ left (\ frac {\ zeta} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} + 1 \ right) \ exp \ left (- \ varphi \ left (\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta \ right) \ right) = \ epsilon \ right \} $$ $$ \ varphi = \ frac {\ ln \ left (2 \ frac {\ epsilon} {\ theta_T} (\ zeta \ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta ^ 2 + 1) \ right)} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta} = \ Omega \ , t_T $$
donde $ t_T $ es el tiempo objetivo. Un buen compromiso ocurre cuando $ \ varphi = \ frac {1} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} $ que hace $ \ frac {{\ rm d} \ varphi} {{\ rm d} \ zeta} = 0 $ y por lo tanto minimiza $ \ varphi = \ Omega \, t_T $.
Esto produce la solución.
$$ \ begin {cases}
K = \ frac {J} {t_T ^ 2 \ gamma (\ gamma + 2)} \\
\ zeta = \ frac {\ sqrt {(J + K t_T ^ 2)}} {t \, \ sqrt {K}} \\
C = \ frac {2} {t_T} \ sqrt {J (J + K t_T ^ 2)}
\ end {cases} $$
donde $ \ gamma \ ll 1 $ es un pequeño valor positivo (definido como $ \ zeta = 1+ \ gamma $).
