¿Por qué la fuerza mínima tiene que ser paralela a la inclinación?

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Si tenemos un objeto en un banco inclinado sin fricción, ¿por qué la fuerza mínima aplicada para mantenerlo estable tiene que ser paralela a la inclinación (o perpendicular a la fuerza de reacción)?

En otras palabras, ¿por qué el ángulo θ en la imagen tiene que ser 0 para que la fuerza sea mínima?

Considere que sabemos el peso del objeto y la reacción de la inclinación.

statics

— Elruz Rahimli
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De lo contrario, parte de la fuerza se usa para levantar el objeto o forzarlo hacia el banco ...

— Solar Mike

De ese modo, dejamos que la fuerza de reacción se ocupe del componente del peso que es perpendicular a la inclinación en ese momento. Que tiene sentido. ¡Gracias!

— Elruz Rahimli

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Pregunta de examen parte B: ¿Sigue siendo cierto si la superficie no tiene fricción?

— agentp

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La fuerza mínima está en la dirección en que se movería el objeto sin esa fuerza. Claramente, el objeto se movería a lo largo del plano inclinado, hacia abajo y hacia la derecha en su diagrama.

Dicho de otra manera, lo que importa es el componente de la fuerza a lo largo de la dirección de desplazamiento. Más matemáticamente, es el producto escalar de la fuerza con el vector de la unidad de aceleración, con valores negativos que contribuyen a cancelar la aceleración y valores positivos que la mejoran. El producto punto es -1 cuando la fuerza es exactamente opuesta a la dirección de aceleración. Una fuerza lateral no haría nada, y tiene un producto de punto de 0. Una fuerza que empuja hacia abajo la pendiente tiene un producto de punto de 1, y tal como dicen las matemáticas, haría que el objeto descienda más rápido.

— Olin Lathrop
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Gran respuesta, tomé el camino del cálculo pensando en esto como una ecuación límite. Cuando theta se acerca a cero, los componentes de la fuerza en la dirección de acción (es decir, cuesta arriba) se maximiza y la fuerza normal se vuelve cero.

— Diesel

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La fuerza que está aplicando tendría un efecto que contrarrestaría la tendencia del cuerpo a moverse. Ese efecto será calculado por [fuerza aplicada] . $\cos \theta$

Si no es cero, sería menor que 1, por lo que tendría que aplicar una fuerza mayor para producir el mismo resultado. Por ejemplo, 10 grados para equivaldrían a una fuerza paralela al plano de 0.9848 veces la fuerza aplicada. Necesitaría una fuerza aplicada mayor (aproximadamente 1.015 veces) para producir el mismo efecto. $\theta$ $\cos{\theta}$ $\theta$

Cuando , . $\theta = 0$ $\cos{\theta} = 1$

— Era como eso cuando está aquí
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Gracias Jem. Tomé un poco de acceso directo allí para evitar jugar con mapas de caracteres y ASCII.

— Fue como eso cuando estuvo aquí

Ah Ya veo como se hace. También tengo el del primer párrafo.

— Fue como eso cuando estuvo aquí

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Desde que planteé la pregunta en un comentario, aquí es cómo tratar el caso de fricción y, por supuesto, al final se reduce al resultado esperado sin fricción.

$f_x$ $f_y$

La fuerza normal entre el bloque y el plano es:

f_{n} = W \cos (t) + f_{y}

$f_n = W\cos(t) + f_y$

$f_x$ $u$

f_{x} = W \sin (t) - u f_{n} = W \sin (t) - u (W \cos (t) + f_{y})

$f_x = W\sin(t) - u f_n = W\sin(t) - u (W\cos(t) + f_y)$

La magnitud de la fuerza aplicada es entonces

f_{m a g} = \sqrt{f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}

$f_{mag} = \sqrt{f_x^2+f_y^2}$

$d f_{mag} / d f_y == 0$ $f_y$

f_{y} = u W \sin (t) \cdot \frac{1 - u / \tan (t)}{1 + u^{2}}

$f_y = u W\sin(t)\cdot\dfrac{1 - u /\tan(t)}{1 + u^2}$

y

f_{x} = W \sin (t) (1 - u \cdot \frac{1 / \tan (t) + u}{1 + u^{2}})

$f_x = W\sin(t) ( 1 - u\cdot\dfrac{1/\tan(t) + u}{1 + u^2})$

$u=0$ $f_x=W\sin(t),f_y=0$

— agentp
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¿Es posible probar esto usando cálculo diferencial?

— Jem Eripol

@JemEripol No estoy seguro de lo que quieres decir, creo que eso fue lo que hice. Tenga en cuenta que para completar, debemos verificar que los extremos que encontré sean mínimos.

— agentp

Oh, no vi la parte diferencial. Gracias.

— Jem Eripol