¿Cómo debo colocar dos soportes de estante para la mejor distribución de carga?

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Me gustaría montar un estante en la pared. Tengo dos soportes de repisa para hacerlo, así:

En relación con el estante, ¿dónde coloco los soportes (azules) para lograr la mejor distribución de la carga?

mechanical-engineering statics

— Nico Schlömer
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Hay bastantes detalles que serían útiles para agregar a esta declaración del problema. ¿Cómo se unen los soportes a la pared? ¿Están físicamente unidos al estante o descansa libremente sobre ellos? ¿Se extienden a toda la profundidad del estante? ¿Cuál es el uso previsto del estante (es decir, cosas livianas, cosas pesadas, un solo artículo, su gato)? ¿De qué material están hechos el estante y los soportes? ¿Los soportes están clasificados para manejar una determinada carga? ¿Cuáles son las dimensiones del estante (o al menos su propio peso)?

— Aire

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Como con todas las cosas buenas, depende.

Si puede suponer que sus soportes son totalmente rígidos y que la carga en el estante será aproximadamente uniforme, entonces básicamente tiene la siguiente estructura:

Una sección transversal rectangular (como una tabla) se comportará igualmente bajo un momento flector positivo o negativo, por lo que su objetivo debe ser equilibrar ambos. Para hacerlo, desea que su tramo principal sea $2\sqrt2 \approx 2.83$ veces los voladizos. Esto se encuentra calculando el voladizo requerido para compensar la mitad del momento flector debido a una carga uniforme a lo largo de una viga simplemente soportada:

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{q L_{m i d}^{2}}{8} - M_{c a n t} \\ M_{c a n t} & = \frac{q L_{c a n t}^{2}}{2} = \frac{M_{m i d}}{2} = \frac{q L_{m i d}^{2}}{16} \\ ∴ 8 L_{c a n t}^{2} & = L_{m i d}^{2} \\ 2 \sqrt{2} L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{qL_{mid}^2}{8} - M_{cant} \\ M_{cant} &= \dfrac{qL_{cant}^2}{2} = \dfrac{M_{mid}}{2} = \dfrac{qL_{mid}^2}{16} \\ \therefore 8L_{cant}^2 &= L_{mid}^2 \\ 2\sqrt2 L_{cant} &= L_{mid} \end{align}$

Si su estante puede estar vacío, a excepción de una sola carga concentrada en cualquier lugar, entonces debe encontrar los puntos para los soportes donde el momento de flexión máximo debido a una carga concentrada en los bordes será igual al de una carga en la mitad del espacio.

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ M_{c a n t} & = P L_{c a n t} = M_{m i d} = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ ∴ 4 L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ M_{cant} &= PL_{cant} = M_{mid} = \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ \therefore 4L_{cant} &= L_{mid} \\ \end{align}$

Tomando un promedio de los dos casos anteriores, como primera aproximación, adoptaría un tramo principal unas 3,5 veces más grande que los voladizos.

Si sus soportes están flojos, lo que significa que no sostendrán el estante si está elevado, por lo que existe el riesgo de que se caiga con demasiada carga en un voladizo, entonces debe calcular la carga máxima que puede soportar el peso de su estante . Sin embargo, hay demasiadas variables para resolver esto trivialmente (peso lineal del estante, peso máximo adoptado, etc.). Y, sinceramente, si sus soportes están flojos, realmente debe colocar los soportes en los extremos, eliminando este riesgo por completo (pero por lo tanto reduciendo la carga máxima que resistirá el estante).

_{Diagramas obtenidos con Ftool , un programa gratuito de análisis de cuadros 2D.}

— Wasabi
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Hay varios criterios que debe tener en cuenta:

Para distribuir la carga de manera más uniforme entre los dos soportes, colóquelos lo más separados posible. Eso sería al final en este caso.
El peor caso, el objeto pesado colocado en un extremo sin nada más en el estante no tiene que voltear el estante. Esto pone un límite a qué tan lejos de los extremos pueden estar los soportes.
La resistencia del estante debe ser mayor para soportar la misma carga a medida que los soportes se separan más. En este caso, considere la carga del peor de los casos colocada exactamente en el centro. Incluso si el estante es lo suficientemente fuerte como para no ser dañado por tal carga, la curva resultante puede ser objetable para usted.

Solo usted puede decidir cómo estos diversos criterios competitivos se compensan en su caso.

— Olin Lathrop
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Una corrección: al contrario del n. ° 1, siempre que los soportes se coloquen simétricamente, la carga siempre se distribuirá uniformemente entre ellos. Y # 2 solo se aplica si los soportes están flojos (no pueden manejar la tensión).

— Wasabi

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@Was: Para que su número 1 sea verdadero, la carga en el estante debe distribuirse uniformemente en el estante. Esto no es realista para un "estante" no especificado. Estoy de acuerdo con el # 2. Sin embargo, muchos soportes de estantería son solo algo para que descanse la plataforma, por lo que la propina es un problema. Incluso si no es así, entonces el soporte que no tiene carga negativa obtiene más que la carga completa, por lo que debe diseñarse de manera más robusta. Lo mantuve simple y no analicé todo eso, que parecía estar más en línea con el nivel de la pregunta.

— Olin Lathrop