¿Cómo la fuerza de carga impacta la inercia de carga?

Estoy tratando de simular un cabrestante como un motor de velocidad regulada que funciona a través de una caja de cambios para levantar una masa. La salida de la caja de engranajes es un tambor, que gira para acumular el cable.

Me siento cómodo convirtiendo la masa en un momento de inercia y también me siento cómodo convirtiendo ese momento de inercia (lado de salida) en el momento de inercia "visto" por el motor (lado de entrada) con la relación de la caja de cambios . Con una simulación simple, no tengo problemas para escribir las ecuaciones de movimiento.

Mi complicación viene cuando quiero modelar "estirar" en el cable. Pensé que podía hacer esto simplemente colocando un resorte de rigidez arbitraria entre el tambor del cabrestante y la masa, como se muestra a continuación.

Con este modelo, en aras de la simulación, supongo que conozco la "altura del tambor", que sería cuánto se ha girado el tambor multiplicado por el radio del tambor y la altura de la carga. La fuerza del resorte sería$k(\phi r - y)$, pero ¿cómo aplico esto al motor ?

Tengo un modelo de motor:

$$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$$ y un modelo de controlador PI:

$$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\ $$ dónde $\Theta$ es la velocidad del motor $V$ es el voltaje terminal, $J$ es la inercia de la carga y la maquinaria, y $R_a$, $K_T$y $K_b$ son la resistencia de la armadura del motor, la constante de par y la constante EMF posterior, respectivamente.

La interacción que me interesa estudiar ocurre cuando el controlador PI se ajusta a la inercia de carga prevista$J$, que se encontraría con el motor, la caja de cambios, el tambor y la masa de carga, pero el sistema en realidad "ve" la masa elástica.

La simplificación se realiza configurando el $k_i/k_p$ relación igual a $K_TK_b/R_aJ$, dando:

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$$

(Tenga en cuenta que puedo irme $k_p$ como variable porque la relación $k_i/k_p$ se puede configurar a lo que quiera a través de $k_i$ Mientras $k_p$ no es cero)

Entonces, en un mundo ideal , donde el valor de la inercia "total"$J$ se conoce de antemano, el polo se cancela y todo el sistema se reduce a:

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\ $$ $$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$$

Finalmente, $\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$, entonces, con álgebra:

$$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$$

Por lo tanto, lamento tener tantos detalles, pero quería impresionar a cualquiera que lea que me siento seguro con todos mis pasos hasta el momento y que he dedicado un esfuerzo considerable a trabajar en este problema. Ahora, nuevamente a mi pregunta: quiero simular el estiramiento en el cable entre el tambor y la carga, pero no estoy seguro de cómo usar la fuerza del resorte para modular la inercia de la carga.

Uno pensaba que tenía que tratar de fingir una "masa equivalente", suponiendo:

$$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\ $$

pero esto no se siente bien, y no estoy seguro de qué usaría para acelerar $a$.

Estoy frustrado por estar tan avanzado en el problema y quedar perplejo por lo que parece ser un problema fácil, pero realmente no puedo pensar en una forma de abordar este problema. Creo que si pudiera enmarcarlo correctamente, podría resolver la mecánica, pero es la conversión de fuerza a inercia que siento que debe hacerse lo que me tiene perplejo.

Finalmente, para que conste, también he intentado retroceder en mi modelo de motor para incluir el par de carga. Esto da resultados aparentemente razonables, pero al final resto el par de carga del par del motor para obtener el par neto, luego aplico ese par neto a la inercia total para obtener la aceleración del motor. Eso se alimenta en el futuro y, una vez más, no estoy seguro de que esté tratando la inercia total correctamente.

Primero calculemos el modelo. El diseño del control es un esfuerzo separado.

El par aplicado al tambor es $n T_M$, donde n es la relación de transmisión y $T_M$ es la salida producida por el motor. $T_M= K_T i(t)$, dónde $K_T$ es una constante de proporcionalidad y $i(t)$ es la corriente del motor

Ahora podemos escribir las ecuaciones para el sistema mecánico:

$$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$$ $$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$$

Aquí m es la masa yk es la constante del resorte.

Para escribir la ecuación motora, necesitamos determinar la fem posterior. La fem posterior es proporcional a la velocidad del motor y, para escribirla en términos de la velocidad del tambor, la multiplicamos también con la relación de transmisión n.

$$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$$

Aquí es el voltaje aplicado, es la inductancia, es la resistencia y es la constante de proporcionalidad.$V(t)$$L$$R$$K_b$

Estas tres ecuaciones tienen como entrada e , e como estados / salidas. Esto se puede utilizar para obtener el modelo de espacio de estado o el modelo de función de transferencia. (Los siguientes se obtuvieron usando Mathematica)$V(t)$$i(t)$$\theta (t)$$y(t)$

Ahora el diseño de control puede comenzar ...

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Como ha habido cierta confusión sobre la inercia que se utilizará, permítanme aclarar la respuesta. un conjunto de engranajes en la caja de engranajes: un engranaje con inercia en el lado del tambor y un engranaje con inercia en el lado del motor.$J_1$$J_2$

En la respuesta anterior descuidé la inercia de los engranajes. El único cambio que debe hacerse ahora es modificar la segunda ecuación de la siguiente manera.

$$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$$

Si también se desea la ecuación para describir la dinámica transitoria del eje del motor, entonces es una ecuación adicional que involucra (rotación del eje del motor), la inercia , etc. Sin embargo, esto no es necesario si el objetivo es controlar La posición del tambor.$\theta_M$$J_2$

Estiramiento en el delta de primavera Entonces, el delta Y no es constante, pero si está interesado en delt Y_max $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$

delta , según la ley de Hooks. Debido a que su sistema no se acelera, excepto al principio y al final, suponiendo que la polea comienza y se detiene repentinamente, es su máximo. Cualquier aceleración gradual de inicio / parada deberá sustraerse de la aceleración del resorte que es$Y max = m/k$

$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

mirando el diagrama de masa del cuerpo libre
Como notó, la fuerza es$K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
dividimos ambos lados por K obtenemos:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Espero que esto sea de ayuda.

Me doy cuenta de que este es un hilo viejo, y no estoy seguro de cuán profundo de una inmersión finalmente lo hiciste, pero una cosa que no veo explicada en tus ecuaciones es la fricción del tambor / cable. Esto será pequeño y, al igual que la masa acumulada del cable de acero enrollado que no incluyó, es posible que no esté en su lista. El cable se puede estirar y cargar previamente, sin embargo, cualquier movimiento entre el cable y el tambor debido al estiramiento del cable también encontrará fricción. En mi industria (aparejos de teatro, diseño de maquinaria de escenario), la ranura contacta con un área mayor que una aplicación de tambor plano, y generalmente tenemos fricción adicional a lo largo de las poleas y mulas de redireccionamiento en el juego de líneas para tener en cuenta especialmente en 2: 1 o 4: 1 sistemas de ventaja mecánica.

Creo que el enfoque de Suba Thomas ofrece un buen modelo: comenzar con la suma de fuerzas en la carga y la suma de momentos en el tambor. Luego determine el modelo de motor necesario.

El modelo de motor inicial del mandril necesita un sistema rígido donde se pueda calcular un solo valor para el momento de inercia, mientras que el objetivo del modelo es:

La interacción que me interesa estudiar ocurre cuando el controlador PI se sintoniza con la inercia de carga prevista , que se encontraría con el motor, la caja de cambios, el tambor y la masa de carga, pero el sistema realmente "ve" la masa elástica.$J$

Una nota sobre la inercia en la ecuación del momento del tambor de Suba Thomas: No olvide la inercia del motor aumentada al tambor. Dependiendo del motor elegido, su influencia puede ser significativa. Entonces elegiría$J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$