Prueba matemática de que el voltaje RMS multiplicado por la corriente RMS proporciona potencia media

Sé que esto es cierto porque lo leí en una fuente confiable. También entiendo intuitivamente que la potencia es proporcional al cuadrado de voltaje o corriente para una carga resistiva, y que la "S" en RMS es para "cuadrado". Estoy buscando una prueba matemática difícil.

Supongamos que denota la corriente en el instante , y asimismo denota el voltaje en ese instante. Si podemos medir el voltaje y la corriente en todos los instantes, y hay instantes, entonces la potencia aparente media es:$I_i$$i$$V_i$$n$

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

¿Qué es una elegante prueba matemática de que

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

logra el mismo resultado para cargas resistivas?

Ley de Ohm

$$1: V(t) = I(t)R$$

La disipación de potencia instantánea es producto del voltaje y la corriente

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Sustituya 1 en 2 para obtener potencia instantánea a través de una resistencia en términos de voltaje o corriente:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

La potencia promedio es, por definición, la integral de la potencia instantánea durante un período, dividida por ese período. Sustituya 3 en eso para obtener la potencia promedio en términos de voltaje y corriente.

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

Definición de corriente RMS

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Cuadrar ambos lados $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ Multiplique por R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ Definición de voltaje RMS $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Cuadrado de ambos lados $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ Divide entre R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ Multiplica las expresiones 7 y 10 para la potencia promedio $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ Raíz cuadrada de ambos lados $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

La prueba muy simple (en el caso de muestreo discreto en la pregunta) es mediante la sustitución de E / R por I en la ecuación RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

y álgebra muy simple.

Y sí, esto es cierto porque se especifica que tenemos una carga puramente resistiva, por lo que no hay problema de ángulo de fase ni armónico presente en I que tampoco esté presente en E.

EDITAR

definición de RMS para puntos discretos (de Wikipedia):

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

entonces

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

y

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

y por la Ley de Ohm sustitución:

$$I_i = V_i/R$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

luego:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Sacando el 1 / R ^ 2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

entonces:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$ is:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

distributing the 1/R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Usando la sustitución de la Ley de Ohm nuevamente:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

cual es:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

La clave es que para una carga resistiva, el voltaje y la corriente están en fase.

Si el voltaje y la corriente son ambos $\sin(t)$, entonces su producto está dado por la igualdad $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$. La potencia es una onda sinusoidal del doble de la frecuencia, que oscila alrededor de$1/2$. Este es su promedio en el tiempo (la "media" del "cuadrado"). La raíz del cuadrado medio es$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$. Ahí es donde obtenemos ese número mágico.

La tensión o corriente cuadrática media raíz es el voltaje y la corriente equivalentes de CC que producirán la misma disipación de potencia con el tiempo . Si la disipación de potencia promedio es$1/2$ W, entonces tal disipación de potencia puede ser producida constantemente por $\sqrt{2}/2$ VDC multiplicado por $\sqrt{2}/2$ A DC

Si la corriente y el voltaje están desfasados ​​90 grados (carga reactiva pura), entonces podemos pensar que uno es $\cos(t)$ y el otro ser $\sin(t)$. La igualdad aplicable es entonces$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$. La forma de onda de potencia ya no está "sesgada" para oscilar$1/2$; su promedio es cero: la energía fluye hacia adentro y hacia afuera de la carga en medios ciclos alternos, a medida que la forma de onda de energía oscila positiva y negativamente.

Entonces, para responder a la pregunta, el voltaje y la corriente RMS se definen en función de la potencia media: cada uno se deriva de la raíz cuadrada de la potencia media. Multiplicando dos valores que se obtienen de la raíz cuadrada de la potencia media, recupera la potencia media.

Vamos a simplificar más este problema sin las matemáticas. Tome este circuito simple que produce una forma de onda cuadrada con un período de 10 segundos.

El voltaje es así

y actual es

Entonces la forma de onda de potencia será

Cuando el interruptor está abierto, no se suministra energía a la resistencia, por lo que la energía total es de 10 vatios X 5 segundos = 50 julios, y es lo mismo que aplicamos 5 vatios en 10 segundos

y este es el poder promedio. El voltaje promedio es de 5 voltios y la corriente promedio es de 0.5 amperios. Haciendo un cálculo simple, la potencia promedio da como resultado 2.5 vatios o 25 julios, lo cual no es cierto.

Así que hagamos este truco CON ESTE ORDEN:

1. Primero al cuadrado el voltaje (y corriente)

2. Segundo toma el promedio del cuadrado

3. Luego saca la raíz cuadrada del promedio

El cuadrado de la forma de onda de voltaje será

Y el promedio es 50V ^ 2 (no 50 ^ 2 voltios). Desde este punto, olvídate de la forma de onda. Solo valores. La raíz cuadrada del valor anterior es 7,071… voltios RMS. Haciendo lo mismo con la corriente encontrará 0,7071..A RMS y la potencia promedio será de 7,071V x 0,7071A = 5 vatios

Si intenta hacer lo mismo con la potencia RMS, el resultado será de 7.071 vatios sin sentido.

Entonces, la única potencia de calentamiento equivalente es la potencia promedio y la única manera de calcular es usar los valores rms de voltaje y corriente