Piense en un sistema mecánico simple como una barra elástica o un bloque unido a un resorte contra la gravedad, en el mundo real. Cada vez que le dé un pulso al sistema (al bloque o a la barra), comenzarán una oscilación y pronto dejarán de moverse.
Hay formas de analizar un sistema como este. Las dos formas más comunes son:
Solución completa = solución homogénea + solución particular
Respuesta completa = respuesta natural (entrada cero) + respuesta forzada (estado cero)
Como el sistema es el mismo, ambos deberían resultar en la misma ecuación final que representa el mismo comportamiento. Pero puede separarlos para comprender mejor lo que significa cada parte físicamente (especialmente el segundo método).
En el primer método, piensa más desde el punto de vista de un sistema LTI o una ecuación matemática (ecuación diferencial) donde puede encontrar su solución homogénea y luego su solución particular. La solución homogénea se puede ver como una respuesta transitoria de su sistema a esa entrada (más sus condiciones iniciales) y la solución particular se puede ver como el estado permanente de su sistema después / con esa entrada.
El segundo método es más intuitivo: la respuesta natural significa cuál es la respuesta del sistema a su condición inicial. Y la respuesta forzada es la respuesta del sistema a esa entrada dada pero sin condiciones iniciales. Pensando en términos de ese ejemplo de barra o bloque que di, puedes imaginar que en algún momento empujaste la barra con las manos y la sostienes allí. Este puede ser tu estado inicial. Si lo dejas ir, oscilará y luego se detendrá. Esta es la respuesta natural de su sistema a esa condición.
También puede soltarlo, pero sigue dando energía adicional al sistema al golpearlo repetidamente. El sistema tendrá su respuesta natural como antes, pero también mostrará un comportamiento adicional debido a sus golpes adicionales. Cuando encuentra la respuesta completa de su sistema mediante el segundo método, puede ver claramente cuál es el comportamiento natural del sistema debido a esas condiciones iniciales y cuál es la respuesta del sistema si solo tuviera la entrada (sin condiciones iniciales). Ambos juntos representarán todo el comportamiento del sistema.
Y tenga en cuenta que la respuesta de estado cero (respuesta forzada) también puede consistir en una porción "natural" y una porción "particular". Esto se debe a que, incluso sin condiciones iniciales, si proporciona una entrada al sistema, tendrá una respuesta transitoria + respuesta de estado permanente.
Respuesta de ejemplo: imagine que su ecuación representa el siguiente circuito:
Cuál es su salida y (t) es la corriente del circuito. E imagine que su fuente es una fuente DC de + 48v. De esta manera, haciendo la suma del voltaje del elemento en este camino cerrado, obtienes:
ϵ = VL+ VR
Podemos reescribir el voltaje del inductor y el voltaje de la resistencia en términos de corriente:
ϵ = L dyoret+ R i
Si tenemos una fuente de energía de + 48VDC y L = 10H y R = 24Ohms, entonces:
48 = 10 dyoret+ 24 i
que es exactamente la ecuación que usaste. Por lo tanto, principalmente su entrada al sistema (circuito RL) es su fuente de alimentación de + 48v solamente. Entonces su entrada = 48.
Las condiciones iniciales que tiene son y (0) = 5 e y '(0) = 0. Físicamente representa que en el momento = 0, mi corriente del circuito es 5A pero no varía. Puede pensar que algo sucedió anteriormente en el circuito que dejó una corriente en el inductor de 5A. Entonces, en ese momento dado (momento inicial) todavía tiene esos 5A (y (0) = 5) pero no aumenta o disminuye (y '(0) = 0).
Resolviéndolo:
primero asumimos la respuesta natural en el formato:A es t
y luego encontraremos el comportamiento del sistema debido a su condición inicial, como si no tuviéramos una fuente de alimentación ( ), que es la respuesta de entrada cero:ϵ = 0
10sAest+24Aest=0
Aest(10s+24)=0
s=−2,4
Entonces,
iZI(t)=Ae−2,4t
Como sabemos que i (0) = 5:
i(0)=5=Ae−2,4.0
A=5
iZI(t)=5e−2,4t
Tenga en cuenta que hasta ahora todo es consistente. Esta última ecuación representa la respuesta del sistema sin entrada. Si pongo t = 0, encuentro i = 5 que corresponde a la condición inicial. Y si pongo encontraré i = 0, lo que también tiene sentido si no tengo ninguna fuente.t=+∞
Ahora podemos encontrar la solución particular a la ecuación que representará el estado permanente debido a la presencia (entrada) de la fuente de alimentación:
Suponemos ahora que donde es un valor constante que representa la salida del sistema en el estado permanente ya que la entrada también es una constante. Para cada sistema, el formato de salida depende del formato de entrada: si la entrada es una señal sinusoidal, la salida también lo será. En este caso solo tenemos valores constantes que facilitan las cosas.i(t)=cc
Entonces,
didt=0
luego,
48=0.10+24c (usando la ecuación diferencial)
c=2
i(∞)=2
lo que también tiene sentido porque tenemos una fuente de alimentación de CC. Entonces, después de la respuesta transitoria de encender la fuente de alimentación de CC, el inductor se comportará como un cable y tendremos un circuito resistivo con R = 24Ohms. Entonces deberíamos tener 2A de corriente ya que la fuente de alimentación tiene 48V a través de ella.
Pero tenga en cuenta que si solo agrego ambos resultados para encontrar la respuesta completa, tendremos:
i(t)=2+5e−2,4t
Ahora estropeé las cosas en el estado transitorio porque si pongo t = 0 ya no encontraremos i = 5 como antes. Y nosotros tenemos que encontrar i = 5 cuando t = 0, ya que es una condición inicial dada. Esto se debe a que la respuesta de estado cero tiene un término natural que no está allí y también tiene el mismo formato que encontramos antes. Agregándolo allí:
i(t)=2+5e−2,4t+Best
La constante de tiempo es la misma, por lo que solo nos dejó B:
i(t)=2+5e−2,4t+Be−2,4t
Y sabemos que:
i(t)=2+5+B=5 (t = 0)
Entonces,
B=−2
Entonces, su solución completa es:
i(t)=2+5e−2,4t−2e−2,4t
Puede pensar en este último término que encontramos como un término de corrección de la respuesta forzada para que coincida con las condiciones iniciales. Otra forma de encontrarlo es imaginar el mismo sistema pero no sin condiciones iniciales. Luego, resolviendo todo el camino nuevamente, tendríamos:
iZS(t)=2+Ae−2,4t
Pero como ahora no estamos considerando las condiciones iniciales (i (0) = 0), entonces:
iZS(t)=2+Ae−2,4t=0
Y cuando t = 0:
A=−2
entonces la respuesta forzada (estado cero) de su sistema es:
iZS(t)=2−2e−2,4t
Es un poco confuso, pero ahora puedes ver las cosas desde diferentes perspectivas.
-Homogéneas / Soluciones particulares:
i(t)=ip(t)+in(t)=2+3e−2,4t
El primer término (2) es la solución particular y representa el estado permanente. El resto del lado derecho es la respuesta transitoria, también llamada solución homogénea de la ecuación. Algunos libros llaman a esto también Respuesta natural y Respuesta forzada ya que la primera parte es la parte forzada (debido a la fuente de alimentación) y la segunda parte es la parte transitoria o natural (característica del sistema). Esta es la forma más rápida de encontrar la respuesta completa, creo, porque solo tienes que encontrar el estado permanente y una respuesta natural una vez. Pero puede que no esté claro qué representa qué.
-Entrada cero / estado cero:
i(t)=iZS(t)+iZI(t)=2−2e−2,4t+5e−2,4t
Tenga en cuenta que es la misma ecuación pero el segundo término se divide en dos. Ahora, los dos primeros términos ( ) representan la respuesta de estado cero. En otras palabras, qué pasaría con el sistema si no hubiera corriente inicial y usted ENCIENDA la fuente de alimentación de + 48V.2−2e−2,4t
La segunda parte ( ) representa la respuesta de entrada cero. Le muestra lo que sucedería con el sistema si no se proporcionara ninguna entrada (la fuente de alimentación permaneció en 0v). Es solo un término exponencial que iría a cero ya que no tiene entrada.5e−2,4t
Algunas personas también llaman a este formato de respuesta Natural / Forzada. La parte natural sería Entrada cero y la parte Forzada sería el Estado cero, que por cierto está compuesto por un término natural y un término particular.
Nuevamente, todos le darán el mismo resultado que representa el comportamiento de la situación completa, incluida la fuente de alimentación y las condiciones iniciales. Solo tenga en cuenta que en algunos casos puede ser útil usar el segundo método. Un buen ejemplo es cuando está utilizando convoluciones y puede encontrar la respuesta de impulso a su sistema con estado cero. Por lo tanto, romper esos términos podría ayudarlo a ver las cosas con claridad y también usar un término adecuado para convolucionarse.