Amplificación y -3dB

Tengo estos dos circuitos: ingrese la descripción de la imagen aquí

Con un OPAMP 'normal' (sin condensadores), sé cómo calcular el factor de amplificación del circuito ( ). Pero, ¿cómo lo hago con esos dos condensadores? Pero también, ¿cómo calculo dónde está el punto -3 dB de ambos circuitos? $A=\dfrac{U_{uit}}{U_{in}}$

operational-amplifier amplifier

— SjonTeflon
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Si elimina el opamp por un momento, ¿puede calcular el punto -3dB si solo fuera para C1 / R1? ¿Conoces la fórmula para A solo para R1 / C1? Y si observa la entrada no inversora del opamp, ¿qué impedancia de entrada espera?

— jippie

bueno, la impedancia del condensador es 1/jwc(donde w es omega)

— SjonTeflon

Y creo que en el primer circuito es algo así comoR1/((1/jwc)+R1)

— SjonTeflon

Mis números complejos están un poco oxidados, pero eso me parece correcto.

— jippie

El condensador en inglés es un condensador BTW.

— jippie

Respuestas:

El opamp en ambos circuitos es solo un seguidor de voltaje con una ganancia de 1, por lo que es irrelevante para calcular la ganancia.

El circuito izquierdo es un filtro de paso alto RC simple, y el circuito derecho es un filtro de paso bajo RC simple. La ganancia de cada uno de estos es 1 bien en la banda de paso. Bien dentro de la banda de detención, la ganancia disminuirá 6 dB / octava o 20 dB / década de frecuencia.

El punto de caída de cualquier tipo de filtro es cuando la magnitud de la impedancia del condensador es igual a la resistencia. La ecuación para la frecuencia es:

F = 1 / (2 π RC)

Cuando R está en Ohmios y C en Faradios, entonces F está en Hertz. En su caso, tiene 100 nF y 3.3 kΩ, por lo que la frecuencia de caída de cada filtro es de aproximadamente 480 Hz. A esa frecuencia, el filtro se atenuará por un factor de la raíz cuadrada de 2, o tendrá una ganancia de -3 dB. La ganancia del filtro en función de la frecuencia varía suavemente, pero después de una octava o dos en cualquier dirección se aproxima a 20 dB / década por debajo de la frecuencia de caída en un lado y la ganancia de unidad en el otro.

El filtro izquierdo es de paso alto, por lo que para frecuencias superiores a 480 Hz se acercará a la ganancia unitaria a medida que la frecuencia aumenta. Después de aproximadamente 1 kHz, la ganancia será lo suficientemente cercana a 1 para la mayoría de los propósitos, ciertamente para cualquier aplicación de audio normal. Muy por debajo de 480 Hz, se acercará asintóticamente atenuándose por la relación de 480 Hz a la frecuencia real. Por ejemplo, a 100 Hz se atenuará cerca de 4.8 veces, o la ganancia estará cerca de -14 dB.

El filtro de paso bajo a la derecha funciona de la misma manera en frecuencia invertida alrededor del valor de rolloff de 480 Hz. A 100 Hz, su ganancia será casi 1, y a 3 kHz se atenuará cerca de 3 kHz / 480 Hz = 6.25 veces, para una ganancia de -16 dB.

— Olin Lathrop
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Pero también, ¿cómo calculo dónde está el punto -3 dB de ambos circuitos?

En general, encontraría la magnitud de la función de transferencia, la establecería igual a y resolvería la frecuencia. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}^*$

Para un filtro simple de primer orden, esto es casi trivial. En el segundo circuito, el voltaje en la entrada inversora del amplificador operacional es:

\begin{matrix} (1) & V_{+} = V_{i n} \frac{1}{1 + j ω R C} \end{matrix}

$V_+ = V_{in}\dfrac{1}{1 + j \omega RC} \tag{1}$

Multiplica por el conjugado para encontrar la magnitud al cuadrado :

\begin{matrix} (2) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2} = \frac{1}{1 + j ω R C} \frac{1}{1 - j ω R C} = \frac{1}{1 + (ω R C)^{2}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2 = \dfrac{1}{1 + j \omega RC}\dfrac{1}{1 - j \omega RC} = \dfrac{1}{1 + (\omega RC)^2} \tag{2}$

Toma la raíz cuadrada para encontrar la magnitud:

\begin{matrix} (3) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} | = \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \tag{3}$

Ahora, es fácil ver que esto es igual a cuando $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\omega = \dfrac{1}{RC} \tag{4}$

$^*20\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx -3dB$

— Alfred Centauri
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¡Guau, forma de hacer que una cosa simple sea casi impenetrable! Pero, +1 porque es correcto y completo.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop Impenetrable? Esta es la matemática más básica con la que cualquier estudiante de segundo año de ingeniería se ocupa en las clases de análisis de circuitos. Siempre es bueno saber las matemáticas detrás de las cosas.

— krb686

@OlinLathrop si ½√2 en esta respuesta es correcta, ¿estoy leyendo mal la tuya entonces? "A esa frecuencia, el filtro se atenuará por un factor de 2"

— jippie

Mi matemática compleja está un poco oxidada, no entiendo cómo se pasa de (1) a (2). Obtengo , pero no entiendo por qué la derecha puede multiplicarse por 1 / (1 − jωRC). Esperaría que tuviera que ser 1 / (1 + jωRC). ¿Es simple de explicar, ayudar un poco a mi memoria desvanecida? Por supuesto, veo por qué quieres el + en lugar del -, pero ¿por qué está permitido?

| \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2$

— jippie

@jippie, la magnitud de un número complejo o función compleja es donde es el complejo conjugado de . Si , entonces . Entonces que es real.

Z

$Z$

| Z | = \sqrt{Z Z^{*}}

$|Z| = \sqrt{ZZ^*}$

Z^{*}

$Z^*$

Z

$Z$

Z = a + j b

$Z = a + jb$

Z^{*} = a - j b

$Z^* = a - jb$

Z Z^{*} = (a + j b) (a - j b) = a^{2} + b^{2}

$ZZ^* = (a + jb)(a - jb) = a^2 + b^2$

— Alfred Centauri