Las transformaciones de Laplace pueden considerarse un superconjunto para CTFT. Verá, en un ROC, si las raíces de la función de transferencia se encuentran en el eje imaginario, es decir, para s = σ + jω, σ = 0, como se mencionó en comentarios anteriores, el problema de las transformaciones de Laplace se reduce a la Transformada de Fourier de tiempo continuo. Para retroceder un poco, sería bueno saber por qué las transformaciones de Laplace evolucionaron en primer lugar cuando tuvimos las transformaciones de Fourier. Verá, la convergencia de la función (señal) es una condición obligatoria para que exista una Transformada de Fourier (absolutamente sumable), pero también hay señales en el mundo físico donde no es posible tener tales señales convergentes. Pero, dado que es necesario analizarlos, los hacemos converger, al multiplicar un e ^ σ exponencialmente decreciente, lo que los hace converger por su propia naturaleza. Este nuevo σ + jω recibe un nuevo nombre 's', que a menudo sustituimos como 'jω' por la respuesta de señales sinusoidales de los sistemas LTI causales. En el plano s, si el ROC de una transformada de Laplace cubre el eje imaginario, entonces su Transformada de Fourier siempre existirá, ya que la señal convergerá. Estas señales en el eje imaginario son las señales periódicas e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (según Euler).
De la misma manera, z-transform es una extensión de DTFT para, primero, hacer que converjan, segundo, para que nuestras vidas sean mucho más fáciles. Es fácil tratar con az que con ae ^ jω (estableciendo r, radio de círculo ROC como untiy).
Además, es más probable que use una Transformada de Fourier que Laplace para señales que no son causales, porque las transformadas de Laplace hacen la vida mucho más fácil cuando se usan como transformaciones unilaterales (de un lado). También podría usarlos en ambos lados, el resultado será el mismo con alguna variación matemática.