¿En qué condiciones es transformable la transformación de malla estelar?

Todos conocemos y amamos las transformaciones Δ-Y (delta-wye) e Y-Δ (wye-delta) para simplificar las redes de tres resistencias:

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Las transformaciones Δ-Y e Y-Δ tienen la buena propiedad de que un Δ siempre se puede convertir en Y, y un Y siempre se puede convertir en un Δ, sin importar el valor de las resistencias involucradas.

Hay una versión generalizada de la transformación Y-Δ llamada transformación de malla estelar . Esto convierte una "estrella" de resistencias $N$ en una "malla" de resistencias N C 2 .$^{N}C_{2}$

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Wikipedia sugiere que la transformación de estrella a malla siempre existirá, pero que la transformación inversa, de malla a estrella, puede no existir. Esto es:

La transformación reemplaza N resistencias con N C 2 resistencias. Para N> 3, el resultado es un aumento en el número de resistencias, por lo que la transformación no tiene inversa general sin restricciones adicionales.$^{N}C_{2}$

¿Cuáles son las restricciones que deben cumplirse para que exista lo inverso?

Estoy particularmente interesado en convertir una red de malla de 4 nodos en una red en estrella de 4 resistencias.

Motivación para la pregunta: tengo un modelo de sistemas de energía industrial (realmente solo una red muy grande de fuentes e impedancias de voltaje constante) que contiene ~ 2,000 nodos. Estoy intentando reducirlo a solo cuatro nodos de interés.

Editar:

Hay algunos trabajos publicados sobre este tema.

• Versfeld, L., "Observaciones sobre la transformación en malla estelar de las redes eléctricas", Electronics Letters, vol.6, no.19, pp.597,599, 17 de septiembre de 1970

  Se estudian dos nuevos aspectos de la conocida transformación de malla estelar: (a) las condiciones necesarias y suficientes para la transformación de una red de malla general dada en una red estelar equivalente; (b) una extensión a las redes que contienen fuentes.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Mesh-star transform", Electronics Letters, vol.10, no.6, pp.73,74, 21 de marzo de 1974

  Existe una red estelar equivalente para una red de malla dada si esta última satisface la relación de Wheatstone. Usando este hecho, se muestra que todos los cofactores fuera del diagnóstico de la matriz de admitancia de nodo de referencia de dicha red de malla son iguales. De esta propiedad, se deriva una relación simple entre los elementos de las dos redes.

No tengo acceso a IEEE Xplore, así que no puedo leerlos.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{TOT}$$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$$\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$

Supongo que todo esto significa que la condición también es una condición suficiente.

Lo que esto está diciendo (sea cierto o no) es que existe más de una forma de asignar valores a una red en estrella de cinco resistencias, de modo que todas las configuraciones parezcan indistinguibles de acuerdo con todas las medidas externas de resistencia de "caja negra".

La transformación de malla es una pista falsa aquí. Si las redes estelares se determinan de manera única, entonces, por supuesto, siempre habrá una inversa de cualquier mapeo desde esa red a cualquier otro tipo, de regreso a esa red.