Modelado matemático de circuito RC con una entrada lineal

He encontrado muchos documentos y libros que modelan cómo se comporta el voltaje a través de un condensador dentro de un circuito RC transitorio, utilizando la siguiente ecuación:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Desafortunadamente, no he encontrado ningún recurso que discuta cómo modelar matemáticamente un circuito RC, que sea uno que proporcione una fuente de voltaje que aumente linealmente como entrada.

Intentar sustituir VMAX en la ecuación anterior, por una ecuación lineal, da como resultado una ecuación que converge hacia la ecuación lineal, lo que significa que la corriente cesaría después de un tiempo (I = (VS-VC) / R). Obviamente, esto no es cierto, ya que deberíamos ver el enfoque actual como un valor constante con el tiempo, según lo dado por:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Soy plenamente consciente de cómo se comportaría el voltaje a través de un condensador con una fuente de voltaje que aumenta linealmente, hay muchos simuladores que muestran eso, e incluso puedo pensar en una explicación física de los resultados. Lo que deseo saber es cómo se podría modelar matemáticamente el voltaje a través de un condensador con una fuente de voltaje que aumenta linealmente, de manera similar a la ecuación que modela el voltaje a través de un condensador en transitorios.

Desafortunadamente, no he encontrado ningún recurso que discuta cómo modelar matemáticamente un circuito RC, que sea uno que proporcione una fuente de voltaje que aumente linealmente como entrada.

Esta respuesta se trata de convertir el circuito a una función de transferencia en el dominio de frecuencia y luego multiplicar ese TF con la transformada de Laplace de la entrada para obtener el dominio de frecuencia equivalente de la salida. Finalmente, se realiza una operación inversa de Laplace para obtener la fórmula del dominio del tiempo para la salida.

La transformada de Laplace de un filtro RC de paso bajo es: -

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Esta es la función de transferencia del dominio de frecuencia, por lo que si multiplica esto por el equivalente del dominio de frecuencia de una rampa ($\dfrac{1}{s^2}$) obtienes la salida del dominio de frecuencia: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

Usando una tabla de transferencia de laplace inversa, esto tiene una salida de dominio de tiempo de: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Vea el ítem 32 en la tabla o, si la fórmula no tenía una entrada obvia en la tabla, puede usar una calculadora inversa de Laplace que la resuelva numéricamente como esta .

La calculadora le permite construir la fórmula e ingresar un valor numérico para RC. Utilicé un valor RC 7 en el ejemplo anterior para poder ver cómo ese número se propagó a la respuesta final. El último obstáculo es sustituir ese valor propagado de 7 con RC. En otras palabras, es un solucionador numérico pero, sin embargo, es una herramienta muy útil para tener a mano:

Para una señal de entrada general y un sistema de primer orden, puede resolver la ecuación diferencial mediante el factor integrador, $\small (IF)$, método * o la transformación de Laplace, entre otros. El siguiente análisis utiliza el$\small IF$ método.

$^*$Consulte editar, a continuación, para obtener una explicación del método del factor integrador .

Dado el circuito que describe, la ecuación de bucle es:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Diferenciando:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Reorganizando:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Señalando que $\small \tau=RC$:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

En tu caso particular, $v_i$ es una rampa, por lo tanto: $v_i= \small Kt$, dónde $\small K$ Es la pendiente de la rampa.

Por lo tanto $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$, y la ecuación a resolver por el $\small IF$ El método es:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

los $\small IF$ es:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Por lo tanto:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

Asumiendo que las condiciones iniciales son cero, $\small A=-KC$, por lo tanto:

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

y

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

.................................................. .................................................. ..................................................

Editar: Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (ODE) por el factor integrador ($\small IF$) método:

Para la ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$, dónde $\small P$ y $\small Q$ son funciones de $\small t$ (que pueden ser constantes), seguimos los pasos:

1. Determine el factor integrador: $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. La solución general se encuentra resolviendo: $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$, dónde $\small A$ Es una constante arbitraria.

3. Determinar $\small A$ desde la condición inicial o una condición límite, si se conoce.

Por ejemplo, el ODE: $\frac{dy}{dt}+2y=3$, con $\small y(0)=5$

Solución: identificamos $\small P=2,\:Q=3$

Por lo tanto

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

Por lo tanto

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

Dividiendo a través de $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Aplicando la condición inicial:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$; por lo tanto$\small A=3.5$

Dando: $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

También podría agregar otro enfoque basado en la recomendación de Chu:

La forma estándar para una ecuación diferencial lineal de primer orden es:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

Si puede configurar cosas así, entonces su factor de integración (que es una forma ingeniosa de resolverlos) es:

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Entonces la solución es:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Supongamos el siguiente circuito:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Luego de nodal, obtienes:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Que está en forma estándar, ahora.

Entonces, $P_t=\frac{1}{R\,C}$ y $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$. Por lo tanto, el factor integrador es:$\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ y:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

Debería poder realizar fácilmente lo anterior dado un método suficientemente simple $V_s\left(t\right)$. (No olvides tu constante de integración).

lo que escribiste como Vmax se puede cambiar para tu voltaje que cambia con el tiempo siempre que no sea demasiado rápido que la constante de tiempo del condensador, debería darte un modelo decente.

Si desea una respuesta más precisa, puede transformar Fourier / Laplace en su voltaje de entrada y calcular la reactancia para el capacitor en cada frecuencia que obtenga, resolver cada uno y sumarlos para obtener el voltaje final.

La segunda opción que ofrece una solución mucho más precisa es bastante más compleja que la primera cosa que sugerí, que solo puede proporcionar una solución precisa si el voltaje aumenta mucho más lentamente que la carga del condensador.

editar: como algunos de los comentarios mencionados también es posible resolver la ecuación diferencial para una rampa en lugar de un paso.