¿Está mal el libro sobre el Criterio de muestreo de Nyquist?

¿Es incorrecta la siguiente declaración de un libro?

Pensé que el muestreo con el doble del componente de frecuencia más alta de la señal sería adecuado para recuperar completamente la señal. Pero arriba dice que el muestreo dos veces crea una onda como un diente de sierra. ¿Está mal el libro?

Pensé que el muestreo con el doble del componente de frecuencia más alta de la señal sería adecuado para recuperar completamente la señal. Pero arriba dice que el muestreo dos veces crea una onda como un diente de sierra. ¿Está mal el libro?

El libro está equivocado, pero no por la razón que piensas. Si entrecierra los ojos para indicar los puntos que indican las muestras, está muestreando al doble de la frecuencia que dice.

Entonces, primero, debe dibujar algunas señales y probarlas usted mismo (o usar un paquete de matemáticas, si no tiene lápiz y papel).

En segundo lugar, el teorema de Nyquist dice que es teóricamente posible reconstruir una señal si ya sabe que el espectro del contenido de la señal es estrictamente inferior a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Reconstruye la señal filtrándola en paso bajo. Antes de filtrar, la señal puede distorsionarse, por lo que debe saber lo que está viendo para ver si el resultado puede verse bien. Además, cuanto más cerca esté el espectro de su contenido de señal al límite de Nyquist, más preciso debe ser el límite en sus filtros anti-alias y de reconstrucción. Esto está bien en teoría, pero en la práctica la respuesta de un filtro en el dominio del tiempo se alarga más o menos en proporción a la brusca transición de su banda de paso a su banda de detención. Por lo tanto, en general, si puede, puede probar muy por encima de Nyquist.

Aquí hay una imagen que va con lo que su libro debería haber dicho.

Caso A: una muestra por ciclo (muestras obvias)

Caso B: dos muestras por ciclo, aterrizando en las intersecciones; tenga en cuenta que esta es la misma salida que una muestra por caso de ciclo, pero solo porque probé la primera en las intersecciones.

Caso C: De nuevo, dos muestras por ciclo, pero esta vez en los extremos. Si muestreas exactamente al doble de la frecuencia del componente de señal, entonces no puedes reconstruir. En teoría, podría muestrear un poco más bajo, pero necesitaría un filtro con una respuesta de impulso que abarque lo suficiente del resultado para que pueda reconstruir.

Caso D: Muestreo a 4 veces la frecuencia de la señal. Si conecta los puntos, obtiene una onda triangular, pero no es correcto hacerlo: en el tiempo de muestreo, las muestras solo existen "en los puntos". Tenga en cuenta que si coloca esto a través de un filtro de reconstrucción decente, obtendrá una onda sinusoidal de regreso, y si cambia la fase de su muestreo, la salida se desplazará igualmente en fase, pero su amplitud no cambiará.

La imagen B está extremadamente equivocada. Contiene esquinas muy afiladas en la señal de salida. Las esquinas muy afiladas equivalen a frecuencias muy altas, mucho más altas que la frecuencia de muestreo.

Para cumplir con los teoremas de muestra de Nyquist, debe filtrar el paso bajo de la señal reconstruida. Después del filtrado de paso bajo, la señal B se vería como la señal de entrada, no como un triángulo (ya que todas las esquinas agudas no pueden pasar el filtro de paso bajo).

Para ser exactos, debe pasar por bajo tanto la señal de entrada como la señal de salida. La señal de entrada debe ser de paso bajo filtrada a la mitad de la frecuencia de la muestra para no "doblar" frecuencias más altas.

Lamentablemente, es una tergiversación común de cómo funciona el muestreo. Una descripción más correcta utilizará la función sinc para la reconstrucción (recomiendo una búsqueda de la función sinc).

En aplicaciones del mundo real es imposible tener un filtro de paso bajo "perfecto" (pasando todas las frecuencias por debajo y bloqueando todo por encima). Esto significa que normalmente tomaría muestras con una frecuencia de al menos 2,2 veces la frecuencia máxima que desea reproducir (ejemplo: calidad de CD muestreada a 44,1 kHz para permitir una frecuencia máxima de 20 kHz). Incluso esta diferencia dificultaría la creación de filtros analógicos: la mayoría de las aplicaciones del mundo real "sobremuestran" al igual que el filtro de paso bajo, en parte en el área digital.

El teorema de muestreo establece que la señal puede reconstruirse perfectamente si la frecuencia de muestreo es estrictamente mayor que el contenido de frecuencia más alta en la señal. Pero esa reconstrucción se basa en la inserción de pulsos sinc (infinitos) en cada muestra. Desde un punto de vista teórico, este es un resultado muy importante, pero en la práctica imposible de lograr exactamente. Lo que se describe en la página del libro es un método de reconstrucción basado en dibujar líneas rectas entre las muestras, que es algo completamente diferente. Entonces, diría que el libro es correcto, pero no tiene nada que ver con el teorema del muestreo.

Un muy buen documento general es Unser: Muestreo - 50 años después de Shannon . Su problema surge del hecho de que las señales sinusoidales puras e infinitas no están cubiertas por el teorema de muestreo de Shannon. El teorema aplicable para señales periódicas es el teorema de muestreo de Nyquist anterior.

El teorema de muestreo de Shannon se aplica a funciones que se pueden representar como

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

donde X es una función de integración cuadrada. Entonces esta señal puede representarse exactamente a partir de muestras discretas como

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Una función seno pura no está contenida en esa clase, ya que su transformada de Fourier está compuesta de distribuciones Dirac-delta.

El teorema de muestreo de Nyquist anterior establece (o reinterpreta una idea anterior) que si la señal es periódica con el período T y la frecuencia más alta W = N / T , entonces es un polinomio trigonométrico

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

con coeficientes 2N + 1 (no triviales) y estos coeficientes se pueden reconstruir (por álgebra lineal) a partir de muestras 2N + 1 en el período.

El caso de una función seno pura cae en esta clase. Promete una reconstrucción perfecta si se toman muestras 2N + 1 durante un tiempo NT .

Lo que se ha compartido del libro no dice nada sobre el "Criterio de muestreo de Nyquist": solo se trata de muestrear por puntos una onda sinusoidal con un ADC hipotético y luego (implícitamente) construir una señal de salida utilizando un (no mencionado) DAC simple que realiza una interpolación lineal entre los valores de la muestra.

Dado ese contexto, la declaración de tesis de 'FIGURA 6.10' es generalmente correcta y está bien demostrada.

A medida que aumenta la frecuencia de muestreo del ADC, mejora la fidelidad de la señal digitalizada.

Si quisieras hablar sobre la fidelidad de una reconstrucción idealizada , ese es un asunto completamente diferente. Cualquier discusión sobre la tasa de Nyquist implica el uso de interpolación sinc que, de nuevo, no se menciona en la figura mostrada.

El verdadero defecto de esta figura es la idea de que una muestra puntual es un concepto significativo en ingeniería. En términos prácticos, un ADC se conectará a un componente sensor que funciona acumulando una señal de entrada del mundo real durante un período de tiempo.

Sin embargo, es curioso que esa cifra aparentemente esté equivocada (apagada por un factor de dos) sobre las frecuencias de muestreo específicas que se muestran en los diagramas, aunque la "Salida" que se muestra solo se ve afectada por esto en el caso 'C'.

Usando la declaración citada arriba, encontré un diagrama inquietantemente similar en "Un enfoque práctico para el monitoreo intraoperatorio neurofisiológico" en una discusión sobre el procesamiento de la forma de onda EEG. Para lo que vale, esa discusión incluye lo siguiente:

El teorema que describe la frecuencia de muestreo mínima requerida para que un ADC represente fielmente una señal analógica se conoce como el teorema de Nyquist. Establece que la frecuencia de muestreo de un ADC debe ser mayor que el doble del componente de frecuencia más rápido de una forma de onda.