¿Existe la onda cuadrada?

Si enviamos una forma de onda cuadrada a través de una antena, ¿obtendremos ondas electromagnéticas cuadradas con campos eléctricos y magnéticos que se vean como cuadrados? Además, dado que hay un salto abrupto / casi en amplitud, ¿obtendremos ondas sinusoidales de muy alta frecuencia como las predichas por la transformación de Fourier?

— usuario163416
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Una perfecta no existe onda cuadrada (Tiempos 0 de subida / caída) porque requeriría un ancho de banda infinito.

— Peter Smith

las antenas tienen un ancho de banda finito

— analogsystemsrf

Ancho de banda infinito y cero impedancia

— JonRB

Si el campo eléctrico es una onda cuadrada cercana al ideal, ¿no será el campo magnético más como una serie de picos positivos y negativos?

— user253751

Respuestas:

Como sabes (ya que mencionaste la transformada de Fourier), una onda cuadrada se puede representar (bueno, casi, ver a continuación) como la suma de una serie infinita de ondas sinusoidales. Pero no sería posible enviar una onda cuadrada verdadera a través de una antena física real: a medida que se mueve a lo largo de la serie infinita, las frecuencias se vuelven cada vez más altas, y eventualmente alcanzará frecuencias que su antena no puede transmitir, por varias razones . Si observa una tabla del espectro electromagnético, encontrará que las ondas de radio por encima de una determinada frecuencia se llaman "luz", y su antena probablemente no pueda alcanzar esas frecuencias, por muy buena que sea.

(Pero, de hecho, si tiene una antena que es capaz de transmitir en un ancho de banda amplio, es decir, de frecuencias muy bajas a muy altas, y envía una aproximación de una onda cuadrada sobre ella, verá muy alta aparecen las frecuencias, tal como lo predijo la transformada de Fourier).

También hay otro problema: en realidad no puedes acercarte a una forma de onda cuadrada verdadera desde cualquier suma finita de ondas sinusoidales, sin importar cuántas. Este problema es mucho más teórico y es poco probable que surja en la práctica, pero se llama fenómeno de Gibbs . Resulta que no importa qué tan alta sea la frecuencia, la aproximación de una onda cuadrada siempre se sobrepasará en los grandes saltos de menor a mayor y de mayor a menor. El sobreimpulso será cada vez más corto en el tiempo, mejor será su aproximación (mayor será la frecuencia). Pero nunca disminuirá en magnitud; converge a aproximadamente el 9% del tamaño del salto.

— Glenn Willen
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Deberías decir que no puedes hacer una onda cuadrada verdadera a partir de una suma finita de ondas sinusoidales. De una suma infinita, puedes. Si toma el límite, el sobrepaso desaparece como puede ver con un argumento epsilon-delta.

— DerManu

La serie de Fourier para una onda cuadrada converge a una onda cuadrada, pero no logra converger uniformemente a una onda cuadrada, porque si tomas muchos términos (digamos un billón) de la serie, todavía se sobrepasará en aproximadamente un 9% . (En realidad, ninguna serie de funciones continuas converge uniformemente a una onda cuadrada, ya que una onda cuadrada no es continua. Aún así, la serie de Fourier es particularmente problemática; hay otras series que no se sobrepasan así.)

— Tanner Swett

La suma converge puntualmente a la onda cuadrada en todas partes, excepto en las transiciones donde converge al promedio de los límites izquierdo y derecho. El sobreimpulso nunca desaparece, ya que la convergencia no es uniforme.

— copper.hat

@ copper.hat: recuerdo haber leído que el propio Foorier estaba bastante descontento con el hecho de que la amplitud del sobreimpulso no se acercaba asintóticamente a cero a medida que aumentaba el número de términos. Sin embargo, la fracción del dominio para el que la función no se encuentra dentro de un épsilon particular del valor correcto se aproxima a cero a medida que aumenta el número de términos.

— supercat

Técnicamente, cualquier antena emitirá luz si la calienta lo suficiente

— Nate S.

No, las ondas cuadradas matemáticas perfectas no existen en el mundo real porque la onda cuadrada no es una función continua (no tiene una derivada en el paso). Por lo tanto, solo puede aproximar una onda cuadrada y la aproximación tiene frecuencias muy altas, y en algún momento la antena no podría enviarlas, por lo que sería un filtro de paso bajo.

— Solo yo
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Las funciones continuas tampoco existen en el mundo real, debido a los efectos cuánticos.

— supercat

Además, la lógica de que "no tiene una derivada en el paso" no significa que la función no sea continua. No diferenciable no implica no continuo. Dicho esto, la función no es continua ya que los límites unilaterales en el paso no están de acuerdo.

— Sean Haight

En un caso más general en comparación con las respuestas anteriores, no se puede detener ni iniciar nada en tiempo cero, es decir, al instante. Hacerlo implicaría un componente de frecuencia infinitamente alta que se traduciría en energía infinita. Los factores limitantes son la limitación de la velocidad de la luz del principio de incertidumbre de la relatividad especial y la mecánica cuántica.

Cuanto más nítida sea la transición que desee, más energía tendrá para bombear al sistema

— Dirk Bruere
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