He estado revisando el libro Ogata Modern Control Engineering y trabajando en varios ejercicios para mejorar mi comprensión de los principios básicos de control. Encontré el siguiente ejemplo que estoy luchando por resolver.

Necesito idear la función de transferencia que modela esta plantilla de vibración. Las preguntas son las siguientes:

En este ejemplo, analizará una plataforma de prueba de vibración (Fig. 1). Este sistema consiste en una tabla de masa M y una bobina cuya masa es m. Un imán permanente rígidamente unido al suelo proporciona un campo magnético estable. El movimiento de la bobina, 𝑦, a través del campo magnético induce un voltaje en la bobina que es proporcional a su velocidad, 𝑦̇, como en la ecuación. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [eq.1]

El paso de corriente a través de la bobina hace que experimente una fuerza magnética proporcional a la corriente como en la ecuación. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [eq.2]

Pregunta: Obtenga una función de transferencia paramétrica con salida 𝑥 a entrada 𝑉.

Algunas preguntas que encuentro difíciles de responder pero que afectan a todo el TF son:

Si K2 y B2 están comprimidos por una distancia Z (cuando se mueve hacia arriba
debido a que la bobina interactúa con el campo magnético), ¿significa esto que k1 y b1 se extienden en la misma distancia Z?
Si m(bobina) se mueve hacia arriba 2 cm, ¿se mueve M(mesa) también hacia arriba 2 cm?

Lo que necesito hacer:

Cree dos diagramas de cuerpo libre separados, uno para la masa M de la tabla y otro para la masa m de la bobina.
Dibuje un diagrama de circuito que incluya la fem posterior.
Transformar a dominio s.
Resuelve simultáneamente.

Lo que he hecho hasta ahora:

Dibuje para separar diagramas de cuerpo libre y extraer ecuaciones.
Dibuja el diagrama del circuito y extrae la ecuación.
Convierte a dominio s.

Usando la función MATLAB solve, logré obtener 2 funciones de transferencia de quinto orden diferentes (una para cada método que propongo a continuación), sin embargo, no estoy seguro de cuál es la correcta y por qué.

Sistema en general :

Esta es una representación esquemática de cómo creo que se puede modelar la plantilla de prueba de vibración, excluyendo la parte eléctrica.

Diagrama de cuerpo libre 1 - Tabla - Convención ascendente

Muelles k1y k2amortiguadores b1y b2se modelan por separado . Como no pueden agregarse y verse como uno solo, su compresión y extensión son independientes.

La fuerza ascendente proviene k2y b2se unen a la bobina. Estos están experimentando un movimiento ascendente.

Ecuación en el dominio s:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Diagrama de cuerpo libre 2 - Bobina - Convención ascendente

La bobina está experimentando una fuerza hacia arriba, sin embargo, el resorte y el amortiguador lo retienen, actuando en la dirección opuesta.

Ecuación en el dominio s:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Los dos métodos diferentes que se muestran arriba para el FBD de la tabla conducen a diferentes ecuaciones en el dominio s y diferentes funciones de transferencia.

¿Cuál es el diagrama de cuerpo libre correcto para la mesa y la bobina?

— rrz0
fuente

Buena pregunta, pero, por favor, publique una foto donde los detalles sean claros sin obligarnos a hacer clic en ella para ampliarla. Por ejemplo, esos signos menos son apenas perceptibles. Además, la ecuación en la parte inferior izquierda se ha recortado parcialmente. Hay mucho espacio libre para usar en tu hoja para agrandar las cosas. Hay muchos programas gratuitos de edición de imágenes en Internet (por ejemplo, IrfanView o FastSstone ImageViewer), por lo que también puede tomar varias fotos de sus hojas y cortar / recortar las partes que necesita para publicar buenas fotos.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

@LorenzoDonati, gracias por la sugerencia, se editará de inmediato. Con respecto a la ecuación en la parte inferior izquierda, eso no es interesante ya que mi preocupación es el diagrama de cuerpo libre. Si eso es correcto, entonces la ecuación será correcta. Sin embargo, intentaré editar en consecuencia. Gracias por sus comentarios.

— rrz0

Trate de no hacer suposiciones sobre lo que hizo mal. Publicar un conjunto de ecuaciones bien dibujadas siguiendo su línea de pensamiento mostrará sus esfuerzos (y por lo tanto mejorará su pregunta, dándole más oportunidades de ser respondido) y también puede señalar posibles errores. Cualquier información relevante sobre su problema en cuestión podría ser útil para el posible respondedor.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

Por cierto, si se siente cómodo con la sintaxis de LaTeX, el editor de preguntas puede comprender la "notación en dólares" de las fórmulas de LaTeX (consulte la ayuda en línea).

— Lorenzo Donati - Codidact.org

Gracias @LorenzoDonati, estoy tratando de presentar la pregunta de una manera más estructurada y legible.

— rrz0

Introducción

M ym tienen solo un grado de libertad; ambos pueden moverse verticalmente solamente. La fuerza magnética actúa directamente sobre el imán m, no sobre la masa M.

$90^o$ $b_1$ $b_2$

Mesa vibratoria excitada electromagnéticamente

Ahora está claro que esta es una conexión en serie de masas con elementos dinámicos entre ellas, por lo que comenzamos a escribir las ecuaciones de movimiento de derecha a izquierda, comenzando con la ecuación eléctrica para m primero, que contendrá V, y y F.
Después de eso, escribiremos la ecuación de movimiento para m y para M.
Como M no se ve afectada por una fuerza magnética, esta última ecuación nos dará y como una función de x, que se usará en la primera ecuación para relacionar x con V.

Eléctrico

e = α \dot{y}, F = β i, V - e = R i + L \dot{i}

$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$

V - e = V - α \dot{y} = R i + L \dot{i} = \frac{R}{β} F + \frac{L}{β} \dot{F}

$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$

$y$ $F$ $V$

El imán

F + m \ddot{y} + b_{2} (\dot{y} - \dot{x}) + k_{2} (y - x) = 0

$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$

V - α \dot{y} = V (s) - α s y = (R + L s) i = (R + L s) F / β

$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$

F = \frac{β}{R + L s} (V (s) - α s y)

$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m \ddot{y} + k_{2} (y - x) + b_{2} (\dot{y} - \dot{x}) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m s^{2} y + k_{2} (y - x) + b_{2} s (y - x) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$

m s^{2} y + (b_{2} - \frac{α β}{R + L s}) s y + k_{2} y - b_{2} s x - k_{2} x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

x

$x$

y

$y$

(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) y - (b_{2} s + k_{2}) x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

La mesa móvil

M \ddot{x} + k_{1} x + b_{1} \dot{x} + k_{2} (x - y) + b_{2} (\dot{x} - \dot{y}) = 0

$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$

M s^{2} x + k_{1} x + b_{1} s x + k_{2} (x - y) + b_{2} s (x - y) = 0

$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$

- b_{2} s y - k_{2} y + M s^{2} x + (b_{1} + b_{2}) s x + (k_{1} + k_{2}) x = 0

$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$

x

$x$

y

$y$

- (b_{2} s + k_{2}) y + {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}} x = 0

$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$

y = \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} x

$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$

Conjunto

$y=f(x)$ $x$ $y$ $V$

[(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} - (b_{2} s + k_{2})] x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

$R+Ls$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})}{b_{2} s + k_{2}} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})] x = - β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$

$b_2s+k_2$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})^{2}] x = - (b_{2} s + k_{2}) β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$

$x(s)/V(s)$

— joe electro
fuente

Los comentarios no son para discusión extendida; Esta conversación se ha movido al chat .

— Dave Tweed

Encontrar la función de transferencia del sistema Spring Mass Damper

Sistema en general :

Diagrama de cuerpo libre 1 - Tabla - Convención ascendente

Diagrama de cuerpo libre 2 - Bobina - Convención ascendente

Introducción

Eléctrico

El imán

La mesa móvil

Conjunto