¿Por qué el tiempo es constante 63.2% y no 50% o 70%?

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Estoy estudiando sobre circuitos RC y RL. ¿Por qué la constante de tiempo es igual al 63.2% del voltaje de salida? ¿Por qué se define como 63% y no cualquier otro valor?

¿Un circuito comienza a funcionar al 63% del voltaje de salida? ¿Por qué no al 50%?

— Bala Subramanian
fuente

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1-e ^ -1 = 0.6321 ...

— Andrew Morton el

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Coincide con 1 / ancho de banda y es el valor de tiempo en el primer retraso de orden

o

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

. En la desintegración radiactiva, utilizan el 50% ('vida media').

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Chu

1

@ AndrewMorton: No estoy completamente seguro de lo que dice acerca de mí que supuse que sería la respuesta solo por el título.

— Ilmari Karonen

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@code_monk: ¿Tan interesante como

?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— Nominal Animal

3

Solo un punto crítico: la constante de tiempo no está definida como 63%. Se define como el inverso del coeficiente en el exponente de una función exponencial (vea las excelentes respuestas en este hilo). Simplemente, como consecuencia, el valor de la cantidad después de un período de tiempo igual a la constante de tiempo es aproximadamente (con una precisión de 2 dígitos) el 63% del valor inicial.

— Lorenzo Donati apoya a Monica el

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Otras respuestas aún no han dado con lo que hace que e sea especial: definir la constante de tiempo como el tiempo requerido para que algo caiga por un factor de e significa que en cualquier momento, la tasa de cambio será tal que, si eso la tasa se continuó: el tiempo requerido para decaer a nada sería una constante constante.

Por ejemplo, si uno tiene un límite de 1uF y una resistencia de 1M, la constante de tiempo será de un segundo. Si el condensador se carga a 10 voltios, el voltaje caerá a una velocidad de 10 voltios / segundo. Si se carga a 5 voltios, el voltaje caerá a una velocidad de 5 voltios / segundo. El hecho de que la tasa de cambio disminuye a medida que lo hace el voltaje significa que el voltaje en realidad no decaerá a nada en un segundo, pero la tasa de disminución en cualquier momento será el voltaje actual dividido por la constante de tiempo.

Si la constante de tiempo se definiera como cualquier otra unidad (por ejemplo, vida media), entonces la tasa de descomposición ya no se correspondería tan bien con la constante de tiempo.

— Super gato
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3

Esta puede ser la mejor respuesta, ya que responde a la pregunta " ¿Por qué? " De una manera tangible, en lugar de mostrar " cómo " calcularla.

— Bort

¡Increíble, no puedo creer que nunca haya aprendido esto! (Por cierto, un gráfico haría esta respuesta aún más impresionante).

— Restablece a Mónica el

1

Esa es una excelente visión intuitiva. +1

— Spehro Pefhany

1

"la tasa de disminución en cualquier momento será el voltaje de corriente" Supongo que si bien "corriente" en este contexto es ambiguo, ambos significados funcionan.

— Acumulación

11

@supercat: agregué un gráfico de tu ejemplo. Siéntase libre de sugerirle cualquier cambio.

— Vuelva a instalar Mónica

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$e^{-1} = 0.36788$ . Cuando estás mirando una vida útil, restas esto de la unidad, dando 0.63212 o 63.2%.

La "unidad de tiempo" se conoce como la "constante de tiempo" del sistema, y generalmente se denota como τ (tau). La expresión completa para la respuesta del sistema a lo largo del tiempo (t) es

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

Entonces, la constante de tiempo es una cantidad útil para saber. Si desea medir la constante de tiempo directamente, mida el tiempo que lleva llegar al 63.2% de su valor final.

En electrónica, resulta que la constante de tiempo (en segundos) es igual a R × C en un circuito RC o L / R en un circuito RL, cuando usa ohmios, faradios y henries como unidades para los valores de los componentes. Esto significa que si conoce la constante de tiempo, puede derivar uno de los valores de los componentes si conoce el otro.

— Dave Tweed
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1

Para una disminución o aumento exponencial, debemos usar la respuesta escalonada para reducir la complejidad. Para que e − 1 se tenga en cuenta. ¿Estoy en lo cierto?

— Bala Subramanian

@BalaSubramanian: sí, claro.

— Dave Tweed

Pero tengo una duda, por ejemplo, en el diseño de un circuito RC para temporizador o contador. Se descarga y se carga en un período de tiempo particular. Es el período de tiempo es igual al tiempo constante. ¿El IC o dispositivo requerido deja de funcionar al 63% del voltaje?

— Bala Subramanian

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- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

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La decadencia de un circuito paralelo RC con condensador cargado a Vo

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

$\tau$

En otras palabras, la constante de tiempo está definida por el producto RC (o relación L / R), y el voltaje aparentemente arbitrario es el resultado de esa definición y la forma en que ocurre la disminución o carga exponencial.

La descomposición exponencial es común a varios procesos físicos, como la desintegración radiactiva, algunos tipos de enfriamiento, etc. y puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden.

Supongamos que quieres saber la hora en que el voltaje es 0.5 del voltaje inicial (o voltaje final si se carga desde 0). Es (de lo anterior)

$\ln(0.5)\tau$

$\tau$

— Spehro Pefhany
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Esa es una aproximación muy aproximada.

— Arsenal

1

@Arsenal Podría usar MATLAB y llevarlo a unos pocos miles de decimales si lo desea.

— Spehro Pefhany

2

@Arsenal, ¿supongo que 22/7 tampoco es lo suficientemente bueno para ti? : D

— Wossname

3

22/7 es una aproximación terrible a e. 19/7 es mucho mejor.

— alephzero

2

@SpehroPefhany (wrt a esa aproximación a la que te vinculaste) Siempre me sorprende cómo a las personas de matemáticas les gusta pasar su tiempo (bueno, ¡supongo que los crucigramas son demasiado fáciles para ellos! :-)

— Lorenzo Donati apoya a Monica el

3

Como complemento a las otras excelentes respuestas de Dave Tweed, supercat y Spehro Phefany, agregaré mis 2 centavos.

Primero, un poco de curiosidad, como escribí en un comentario, la constante de tiempo no se define como 63%. Formalmente se define como el inverso del coeficiente del exponente de una función exponencial. Es decir, si Q es la cantidad relevante (voltaje, corriente, potencia, lo que sea), y Q decae con el tiempo como:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

$\tau = 1 / k$ .

$t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

Lo que otras respuestas solo han tocado marginalmente es por qué se ha hecho esa elección. La respuesta es simplicidad : la constante de tiempo ofrece una manera fácil de comparar la velocidad de evolución de procesos similares. En electrónica, a menudo la constante de tiempo puede interpretarse como "velocidad de reacción" de un circuito. Si conoce las constantes de tiempo de dos circuitos, es fácil comparar su "velocidad relativa" comparando esas constantes.

$\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

En otras palabras, la constante de tiempo es una manera fácil y comprensible de transmitir la escala de tiempo en la que ocurre un fenómeno.

— Lorenzo Donati apoya a Monica
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$e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

— Matthijs Huisman
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