¿Cuál es la tasa de "Nyquist" para muestrear la derivada de una señal?

Antecedentes: estoy muestreando la corriente a través de un condensador. La señal de interés es el voltaje a través del condensador. Integraré digitalmente la medición de corriente para obtener el voltaje.

Pregunta: Dado que el voltaje a través del condensador tiene un ancho de banda limitado, y estoy muestreando la derivada de este voltaje, ¿cuál es la frecuencia de muestreo mínima requerida para reconstruir perfectamente la señal de voltaje de las muestras de corriente?

Si no hay una respuesta enlatada a esta pregunta, cualquier cosa que pueda apuntarme en la dirección correcta sería útil. ¡¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!!

dsp sampling data-acquisition

— VIANDERN
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¿Desea "reconstruir perfectamente" la señal original de las muestras? ¿Qué quieres decir con eso?

— Elliot Alderson

La tasa de Nyquist es dos veces la frecuencia más alta en la señal original.

— Peter Karlsen

@Dweerberkitty como Dave mencionó, la señal es solo una señal :). En una nota seria, si está utilizando sistemas de medición real, entonces podría haber demoras que tendrán un impacto en su operación derivada. Entonces, si los toma en cuenta (con suerte, si el sistema es simple), podría derivar analíticamente el período de muestreo necesario.

— Raaja

"El voltaje a través del condensador tiene un ancho de banda limitado". ¿Por qué?

— Rodrigo de Azevedo

@RodrigodeAzevedo, esto es solo una suposición para simplificar la declaración del problema. En realidad, no tiene un ancho de banda limitado, pero el rango de frecuencia de interés está bien definido en este problema. ¡Gracias!

— VIANDERN

Respuestas:

Tomar una derivada (o una integral) es una operación lineal: no crea ninguna frecuencia que no estuviera en la señal original (o elimine ninguna), solo cambia sus niveles relativos.

Entonces, la tasa de Nyquist para la derivada es la misma que para la señal original.

— Dave Tweed
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Es cierto en un mundo ideal en el que hay señales perfectamente limitadas en banda, filtros de paso bajo ideales y ningún ruido térmico.

— Rodrigo de Azevedo

Todo el balance de SNR cambia. Un pequeño componente de alta frecuencia, que podría tener un alias, pero no hacer mucho debido a su tamaño, puede convertirse en un monstruo considerable, seguro de causar grandes componentes de baja frecuencia en el muestreo.

— Scott Seidman

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Tomar la derivada multiplica la transformación por s, que efectivamente gira el gráfico de magnitud en sentido antihorario. Por lo tanto, pueden ser componentes de mayor frecuencia en la derivada. Una forma más sucinta de decir esto es que la derivación amplifica el contenido de alta frecuencia.

$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ]))

$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ]))

La derivada en este caso claramente tiene componentes de mayor frecuencia. Quizás más correctamente, tiene componentes de alta frecuencia mucho más grandes que la no derivada. Uno podría elegir muestrear la primera señal a 200 rads / s con cierta confianza, ya que la energía es muy pequeña a la velocidad de nyquist, pero el alias sería sustancial si muestreara la derivada a la misma velocidad.

Por lo tanto, depende de la naturaleza de la señal. La derivada de una sinusoide será una sinusoide de la misma frecuencia, pero la derivada del ruido de banda limitada tendrá componentes de frecuencia más altos que el ruido.

EDITAR: En respuesta al voto negativo, martillaré esta casa con un ejemplo concreto. Déjame tomar una onda sinusoidal y agregarle un poco de ruido normal aleatorio (una décima parte de la magnitud de la onda sinusoidal)

El fft de esta señal es:

Ahora, déjame tomar la derivada de la señal:

y el fft de la derivada

El submuestreo, por supuesto, alias ya sea la señal o la derivada. Los efectos del submuestreo serán modestos para la señal, y el resultado del submuestreo de la derivada será absolutamente inútil.

— Scott Seidman
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No estoy seguro de lo que crees que estás tramando aquí, pero no son señales de banda limitada.

— Dave Tweed

La Transformada de Fourier de una señal y la Transformada de Fourier de su derivada.

— Scott Seidman

¿Qué idioma es ese, de todos modos?

— Dave Tweed

Ah En ese caso, tf()no representa una señal, representa una función de transferencia. Definitivamente no está limitado por la banda.

— Dave Tweed

Todavía te falta el punto de que la señal está limitada en la banda. Está agregando ruido sin límite de banda a la señal para hacer su punto, que está fuera del alcance de la pregunta. Sí, esa es una consideración práctica, pero la pregunta (tal como la veo) es teórica.

— Dave Tweed

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No puedes

La integración solo le informará sobre cómo cambia el voltaje durante el tiempo que está tomando muestras.

Sin embargo, el condensador siempre comenzará con algo de carga presente, por lo que habrá un voltaje inicial. Su cálculo no puede conocer ese voltaje, por lo que no puede conocer el voltaje real a través del condensador durante el tiempo de medición. Esto debería resultarle familiar en las clases de matemáticas: siempre se integra entre dos puntos.

También tiene el problema de que, aunque sus muestras de medición de corriente están limitadas por Nyquist, la corriente real a través del condensador puede no serlo. A menos que pueda garantizar que la corriente a través del condensador tenga un filtro de paso bajo en algún lugar por debajo del límite de Nyquist, nunca podrá medir la corriente con la suficiente precisión como para reproducir el voltaje. Necesito tener claro que esto es matemáticamente imposible, ya que requeriría una frecuencia de muestreo infinita.

Pero si conoce el voltaje de arranque y si la corriente real a través del condensador está adecuadamente filtrada por paso bajo, DaveTweed tiene razón en que el límite de Nyquist para la integral es el mismo que para los datos muestreados.

— Graham
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No veo por qué necesita hacer una diferencia entre la corriente real a través del condensador y el valor medido de banda limitada. ¿Qué es tan mágico con esta situación que ya no se aplica la conocida linealidad de derivados, filtros e integración?

— tubería

@pipe En una palabra, muestreo. Supongamos que estamos muestreando a 1kHz. Ahora supongamos que tenemos un pico de corriente de 0.5ms de largo. La versión muestreada nunca verá el pico, pero el voltaje real del condensador ciertamente lo hará. Entonces tiene los errores residuales entre cada forma de integración digital y el valor real. Y ni siquiera he comenzado con nada relacionado con la resolución, que es otra lata de gusanos.

— Graham

Pero la energía de ese pulso se extenderá en bandas que el muestreador se vean. Por ejemplo: un tren de pulsos con pulsos muy cortos, después de limitar la banda, ascenderá a un nivel de CC ligeramente elevado. El área de su pulso seguirá siendo la misma, y la integración de la versión de banda limitada termina con el mismo resultado.

— tubería