Descarga de potencia constante de un condensador no ideal

Mi empleador vende convertidores de impulso para detener las unidades de motor durante la pérdida de energía. Estos convertidores de impulso se alimentan de bancos de condensadores. Para dimensionar estos bancos correctamente, debemos tener en cuenta su voltaje, capacitancia y ESR, para asegurarnos de que haya suficiente energía disponible de los condensadores para sostener los variadores durante un tiempo especificado a una potencia especificada. . En este momento hacemos esto con un método de aproximación, pero sería bueno tener una ecuación más exacta.

Asumimos que la ESR, la capacitancia y la potencia de carga son constantes.

I : current P : power R_{C} : ESR C : capacitance t : time V : capacitor voltage Standard capacitor equation: I (t) = C V^{'} (t) Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load: V (t) I (t) = P + R_{C} I^{2} (t) Substitute: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Si estoy en lo cierto, esto me da una ecuación diferencial no lineal, que me coloca más allá de mi zona de confort matemático. Si entiendo correctamente, resolver una nueva ecuación diferencial no lineal calificaría como una contribución significativa al campo del conocimiento matemático. Dado eso, es poco probable que resuelva esto por mi cuenta.

¿Alguien sabe algún buen enfoque para resolver V (t)? ¿Alguien sabe si esta ecuación ya se ha resuelto? ¿Estoy posiblemente malinterpretando el problema? ¿O debería mover esto al intercambio de pila matemática?

— Stephen Collings
fuente

¿Qué tan preciso necesitas ser? La cantidad de energía perdida por ESR variará de manera no lineal con el voltaje de suministro, pero se pueden calcular fácilmente los límites superior e inferior para la cantidad de energía que se puede cosechar del límite cuando cae de un voltaje a un voltaje más bajo; cuanto menor sea la caída en cuestión, más cerca estarán los límites. Entonces, si el límite comienza a 50 voltios, uno podría calcular los límites superior e inferior para cuánta energía se recuperaría a medida que cae de 50 a 40 voltios. Si la diferencia entre los límites superior e inferior es demasiado grande, uno podría calcular la energía ...

— supercat

... ya que cae de 50 a 45 y luego de 45 a 40. Si la brecha sigue siendo grande con esos tamaños de pasos, subdividir más. Si todos los parámetros se conocieran con precisión, uno probablemente no tendría que subdividirse demasiado para obtener los límites superior e inferior dentro del 20% más o menos el uno del otro. Dada cierta imprecisión en los parámetros, probablemente no sería útil ir mucho más allá de eso.

— supercat

Realmente, supongo que tenemos tres preguntas. ¿Es esto solucionable? ¿Si es así, cómo? Si no, ¿cuál es el siguiente mejor enfoque? Estamos buscando una solución exacta para la ecuación, pero si no hay una, lo que describas podría ser un buen plan de respaldo.

— Stephen Collings

Podría intentar modelar su circuito como un condensador ideal, una resistencia ESR y una impedancia de carga, todo en serie. Al resolver los voltajes nodales y el flujo de corriente (que deberían ser linealmente independientes) puede encontrar pérdidas de ESR versus consumo de energía de carga. Lo único difícil sería estimar Z_L, aunque creo que debería ser capaz de resolverlo calculando a partir de qué potencia nominal y caída de voltaje aceptable espera que tenga su diseño.

— helloworld922

@Remiel: Es común modelar condensadores del mundo real como una combinación de condensadores, resistencias e inductores ideales, y dicho modelo estará más cerca de la realidad que uno que simplemente esperaba que un límite real se comportara como uno ideal, pero el " tapa ideal no ideal "sigue siendo solo una aproximación. En el mundo real, la ESR y la capacitancia pueden variar con el voltaje de formas no lineales extrañas. Una ecuación que describe con precisión el comportamiento de un modelo puede no ser más precisa que una simulación de tiempo discreto para predecir el comportamiento real de un circuito real.

— supercat

Las ecuaciones fueron resueltas por otros aquí . A menos que haya omitido una señal en alguna parte, esta fórmula proporciona el tiempo que le toma a un límite alcanzar el voltaje interno V, comenzando por el voltaje , con un ESR y capacitancia dados, y una descarga de energía fija. $V_{0}$

t (V) = \frac{C}{4 P} (V_{0}^{2} - V^{2} + V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}} - V \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) + C R_{C} (\ln (V + \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) - \ln (V_{0} + \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

Tenga en cuenta que dado que V es el voltaje interno y descargado de la tapa, "detrás" del ESR, para encontrar el tiempo que tarda la tapa en alcanzar un voltaje terminal específico mientras está cargado , debemos usar la sustitución: donde es el voltaje terminal mínimo deseable.

V = V_{m i n} + \frac{P R_{C}}{V_{m i n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$

V_{m i n}

$V_{min}$

Estos cálculos parecen coincidir muy bien con nuestros métodos de estimación numérica.

— Stephen Collings
fuente