¿Por qué, en un circuito pasivo con una entrada sinusoidal, todos los voltajes y corrientes tienen el mismo comportamiento sinusoidal que la entrada?

Estoy familiarizado con que en cualquier circuito compuesto por elementos pasivos lineales y una entrada sinusoidal, todos los voltajes y corrientes a través y a través de cualquier elemento exhibirán el mismo comportamiento y frecuencia sinusoidales que la entrada; así es como funcionan los filtros pasivos. Pero no puedo entender o encontrar una prueba concreta / directa de por qué sucede esto, si no es una simple observación.

He estado derramando mi cerebro y, finalmente, he encontrado un buen enfoque matemático para probar esto y decidí responder a mi propia pregunta. En dicho circuito, resolver cualquier voltaje / corriente a través / a través de cualquier componente (lo llamaré ) siempre lo llevaría a construir una ecuación diferencial que siempre sea lineal, con coeficientes constantes (debido a las propiedades lineales de los componentes pasivos) y no homogéneo (debido a la entrada sinusoidal). Tal ecuación diferencial siempre tomará esta forma: $f$dondea. . . kson constantes (combinaciones de inductancia, resistencia, etc.),nes el orden de la ecuación diferencial (que refleja el número de elementos de almacenamiento de energía en el circuito) yCsin(ωt+θ

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ es una función sinusoidal generalizada eso describe la entrada. Una solución general a esta ecuación diferencial siempre tendrá esta forma: donde la solución particular = A sin ( ω t + θ ) + B cos ( ω t + θ ), que es una función sinusoidal de la misma frecuencia. Ahora, en el análisis del circuito de CA, siempre estamos mirando el circuito en estado estacionario, cuando la solución homogénea se acerca a cero (lo que inevitablemente ocurre debido a las resistencias en el circuito). $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

Esto es solo cierto para los circuitos LTI (Linear Time-Invariant). Si tiene un componente no ideal (y todos están en un grado u otro) verá armónicos de la frecuencia de entrada en la salida. Los inductores tienden a ser los peores del lote, pero todas las partes pasivas tienen ese comportamiento. Por ejemplo, los condensadores pueden exhibir un coeficiente de voltaje fuerte y no son invariables en el tiempo debido a la absorción dieléctrica.

Para una prueba matemática sencilla (suponiendo aproximadamente un 2º año de conocimiento matemático universitario), puede leer estas notas del curso Berkeley (EECS20N: Señales y sistemas). Puede descargar el texto completo aquí .

Ocurre porque una onda sinusoidal es solo una línea en el espectro de frecuencias y no importa lo que haga con un filtro lineal o amplificador, todo lo que sucede es que la fase o la amplitud cambian.

Si se tratara de una onda cuadrada (armónicos infinitos), la aplicación de un filtro atenuaría o acentuaría algunas frecuencias más que otras y la onda cuadrada perdería su forma cuadrada reconocible.

Armónicos de onda cuadrada: -

Fuente GIF

La razón básica es que las ecuaciones constitutivas de los componentes ideales R, L y C son ecuaciones lineales, invariantes en el tiempo que involucran solo derivados e integrales (ambas operaciones lineales) y que el seno y el coseno cambian a otros senos y cosenos cuando actúan sobre tales operadores lineales.

La derivada y la integral de una función sinusoidal es otra función sinusoidal de la misma frecuencia (solo puede cambiar en amplitud y fase). KCL y KVL solo pueden conducir a sumas algebraicas de tales funciones sinusoidales, y esa operación solo puede producir otra función sinusoidal. Entonces, al final, cuando conectas R, L y C en una red, una entrada sinusoidal siempre conducirá a una salida sinusoidal.

Vea mi otra respuesta aquí .

Todo esto es una consecuencia directa de la autosimilitud de la función exponencial (relacionada con los senos y cosenos por la ecuación de Euler). Es posible que desee leer el primer capítulo de Giorgi, The Physics of Waves para obtener una explicación completa de eso.

$t=-\infty$ to $t=+\infty$ its unique to generalized sinusoidal functions - all other functions will end up being 'deformed' by the linear time-invariant circuit. Solutions of a linear system that are scaled copies of themselves like in $A \ x = \lambda \ x$ (where $\lambda$ is a complex scalar carrying information on attenuation and phase shift) are called characteristic, or proper, or eigen- solutions of the systems. They can be used to build an orthogonal basis with the property that any other (well-behaved) function can be decomposed as a generalized sum of such elementary bricks - and this will lead you straight into Fourier series territory, but that's another story).

A concise explanation is given in the first answer to this question on Math SE: Why do we use trig functions in Fourier transforms, and not other periodic functions?

The Fourier basis functions $e^{iωx}$ are eigenfunctions of the shift operator $S_h$ that maps a function $f(x)$ to the function $f(x−h)$: $e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$ for all $x∈R$.

This is true only when restricting passive elements to R,L,C, and maybe crystals that are properly driven - and even then, there are two exceptions, see below. Intentional and unintentional diodes, varistors, thermistors with a thermal mass, and other non-linear elements can quickly introduce distortions to a pure sinusoidal inputs. Overdriven crystals or ceramic filters might also behave rather nonlinear. If including two-terminal elements with negative resistance (gas discharge tubes, tunnel diodes) in the passive category, even more possibilities exist.

The exceptions:

Las partes del mundo real tienden a tener imperfecciones que hacen que se comporten un poco como algunos elementos no lineales. Las resistencias pueden tener un comportamiento de "termistor con una masa térmica" e incluso "varistor". Los condensadores pueden tener una dependencia del voltaje en su valor debido a los efectos piezoeléctricos, los campos eléctricos que producen fuerza mecánica, los efectos químicos (en electrolíticos). Además, algunos efectos de tipo electret parecen estar documentados para condensadores. Las juntas de metal a metal pueden desarrollar un comportamiento tipo diodo. Los inductores pueden volverse no lineales a través de la saturación del núcleo, la interacción del campo magnético con objetos metálicos cercanos, etc.

Todos los componentes resistivos que transportan una corriente exhiben algunos comportamientos generadores de ruido, cuyos límites inferiores están definidos por la física física.

Mind that all real-life seemingly non-sinusoidal, repetitive signals can be perfectly described as a sum of sine waves of varying frequencies and phases.

Looking for the connection to nature will have you going in circles: Sine waves are the principal ingredient in making circles and ovals and round things, according to maths geeks (if you want to draw a circle on a computer, you will usually either use sine/cosine functions or use pythagoras' theorem directly in some way...) . Nature makes a lot of round things (hair, plant stalks, cherries, cherry stains, tornadoes, etc) and keeps an ample supply of sine waves around for that purpose.

Un "circuito" generalmente se considera una red de componentes, con un puerto de "entrada" y un puerto de "salida". Con la teoría de redes, como la Ley de Ohm, puede derivar una ecuación, la 'función de transferencia', que describe la salida en términos de la entrada. Con componentes 'lineales', siempre encontrará una función de transferencia 'lineal'.

Describamos algunos componentes lineales con funciones como output = F(input), output2 = G(input2)etc. Luego, la combinación de dichos componentes conduce a una función combinada como output2 = G(F(input1)). Debido a que ambas funciones son lineales, por lo tanto de la forma y = a * x + b, esas combinaciones también son lineales.

Al aplicar una señal de entrada sinusoidal a la red lineal, la salida puede amplificarse por el factor a, y desplazarse por el voltaje b. Con matemática compleja o ecuaciones diferenciales, incluso puede obtener un 'cambio de fase', pero no una frecuencia diferente, porque la derivada de un seno tiene la misma frecuencia.

¿Quieres esto aún más formal?

O su premisa es falsa o no ha articulado adecuadamente las condiciones de contorno.

Considere un dispositivo pasivo simple como un diodo. Exhibirá una característica de transferencia no lineal que dará como resultado una salida no sinusoidal para un determinado

Considere también un circuito resonante ideal (LC) con una función de transferencia que resulta en salida cero, por lo tanto, no sinusoidal.

Las funciones propias de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (y las redes pasivas generalmente son de ese tipo) son exponenciales complejos, y sus superposiciones reales son sinoides de fase arbitraria.

Una función propia es una función que solo cambiará por un factor constante (en este caso, complejo) cuando se somete a un sistema. Los sistemas lineales son aquellos en los que la salida correspondiente a la suma de varias entradas corresponde a la suma de la salida de las entradas individuales, por lo que siempre puede analizarlas expresando su entrada como una suma conveniente. Si esta suma puede ser una suma expresada en una base de función propia ortogonal, las cosas se vuelven mucho más fáciles.

Hola análisis de Fourier.