¿Ruido de corriente térmica infinito en un cable?

La densidad de ruido térmico se puede escribir como:

Esto se ve un poco feo, pero tal vez si pensamos un poco más sobre qué es un cable de resistencia cero, podemos averiguar por qué no obtendremos algo físicamente poco realista.

Superconductores

Una forma de obtener una resistencia cero sería utilizar superconductores. Estos son materiales muy extraños: tienen enormes efectos cuánticos, pero la teoría del ruido de Johnson-Nyquist que está utilizando en su pregunta es semiclásica, por lo que podríamos esperar razonablemente que no funcione cuando suceden muchas cosas cuánticas.

De hecho, en un superconductor, hay dos 'fluidos' conductores que comparten el mismo espacio. Uno, el fluido normal, está hecho de electrones y actúa como un electrón en un material normal. Esto tendrá fluctuaciones térmicas como las que causan el ruido de Johnson Nyquist. El otro, llamado superfluido, está hecho de pares de cobre y tiene resistencia cero. Por lo tanto, cortará cualquier corriente o voltaje externo (que es lo que convierte a los superconductores en conductores perfectos). Pero también acortará el voltaje de ruido del fluido normal. Cada fluctuación térmica en el material será cancelada inmediata y completamente por un movimiento en el superfluido, por lo que no habrá ruido de Johnson-Nyquist. Es posible que haya otro ruido, pero ese es un tema completamente diferente.

No superconductores

Eso nos deja haciendo un cable de resistencia cero a partir de materiales normales, lo que por supuesto es imposible. Entonces, el problema no es que la corriente es infinita, es que tiende al infinito a medida que reducimos la resistencia. Para ver si eso tiene sentido, tenemos que pensar qué significa realmente reducir la resistencia a cero.

La resistencia de un bloque de material es una constante constante que depende del material por la longitud dividida por el área de la sección transversal. Las dos formas de obtener resistencia cero son:

1. Para aumentar el área al infinito. Tener corriente de ruido infinito en un área infinita parece razonable, la densidad de corriente es la misma que sería para un bloque finito de material.

2. Para reducir la longitud a cero. Este es un poco más complicado, y no estoy seguro de que mi solución sea correcta. Pero creo que esto se reduce a una cuestión de geometría. Si la circunferencia del bucle tiende a cero, entonces el grosor del cable también debe tender a cero, o ya no es un bucle de cable. Esto significa que hay una resistencia mínima, donde puede aplicar razonablemente el teorema de Johnson-Nyquist. Más allá de eso, tienes una placa de cobre con un agujero y deberías analizar eso de manera diferente. Hay todo un subcampo de la física llamado electrodinámica fluctuante y probablemente encuentres la respuesta detallada en algún lugar allí.

Esto parece extraño! Entiendo que la potencia de ruido final no depende de la resistencia, pero aún así la densidad de ruido infinita parece absurda.

No, no es extraño ni absurdo porque estás dividiendo 0 por 0:

Obtiene potencia de la corriente al cuadrar y multiplicar por R, por lo que obtiene una R en el numerador y una en el denominador y ambas cancelan:

$\require{cancel}P = \Delta f(nd_I)^2R = \Delta f \sqrt{\frac{k_B T}{R}}^2 R = \Delta f\frac{k_B T}{\cancel{R}} \cancel{R} = \Delta fk_BT$
que es independiente de R.

Entonces, incluso si la densidad de ruido actual es infinita, la potencia de ruido no lo es.

Aún así, la densidad de ruido infinito parece absurda.

Estás asumiendo que , lo cual es tan absurdo. Pero sí, si tienes el más mínimo voltaje en un sistema sin resistencia, obtienes corriente infinita. Ohm.$R=0$

Sin embargo, la fórmula del ruido térmico en realidad se deriva a través del caso de voltaje (es decir, se obtiene fluctuación de nivel de energía de las cargas (electrones), y estos son observables como fluctuación de voltaje). Entonces, en un superconductor, esa forma de ver el ruido térmico se rompe.

Parece extraño De hecho, está mal! Jack B hizo el punto crucial : el ruido de Johnson-Nyqvist es un modelo semiclásico, es decir, es una aproximación simplificada que funciona bien en el límite de los sistemas a gran escala (es decir, algo más que un par de cientos de átomos) a alta temperatura (que en física del estado sólido significa aproximadamente, no enfriado con helio líquido ). Es en estas condiciones que el comportamiento medible "parece clásico", porque las fluctuaciones térmicas destruyen la coherencia de fase que sería necesaria para que aparezcan los fenómenos cuánticos macroscópicos como la superconductividad o el efecto cuántico. Sucede que en electrónica, básicamente, siempre trabajamos en este régimen clásico por razones prácticas obvias.

Pero las mismas fluctuaciones térmicas (colisiones de fonones) inevitablemente también causan cierta resistividad distinta de cero. Entonces solo puedes tomar el límite$R=\tfrac{\rho\cdot\ell}{A}\to 0$ ya sea haciendo la sección transversal $A$ infinitamente grande (en cuyo caso, como dijo Jack, es completamente razonable que las corrientes también se vuelvan infinitas, al igual que la masa y todo lo demás) o reduciendo la longitud $\ell$ prácticamente a cero, en cuyo caso no tiene el sistema a gran escala que es necesario para la descripción semiclásica.

Lea sobre la catástrofe ultravioleta , que es una paradoja en su mayoría análoga en términos de energía de radiación y, de hecho, fue uno de los incentivos para desarrollar la teoría de la mecánica cuántica en primer lugar, ya que la física clásica evidentemente dio resultados falsos.