¿Por qué un circuito RC no cambia la forma de un seno de entrada?


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En la imagen de arriba, la onda cuadrada roja es la entrada y la onda azul es la salida de un circuito RC. No puedo entender por qué obtengo una onda sinusoidal perfecta cuando alimento una onda sinusoidal como entrada. El capacitor debe tomarse un tiempo para cargarse y descargarse. Entonces, mi intuición grita que la salida es una onda periódica cuyo período es la mitad de la entrada. ¿Alguien podría aclarar esto por mí? ¡Gracias!


En el dominio del tiempo, ¿no debería hacer algo como esto?
En t = 0, el capacitor tiene voltaje 0. Como el voltaje de entrada es grande, el condensador sigue cargándose y se encuentra con la onda sinusoidal de entrada cuando cae.

Luego, el voltaje de entrada es más bajo que el voltaje del condensador, por lo que el condensador comienza a descargarse y nuevamente se encuentra con la onda sinusoidal de entrada cuando sube.

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yo=CreVret

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Yo diría que @ G36 lo logró. La salida está distorsionada. Pero la forma de onda distorsionada tiene la misma forma de la entrada, solo que más pequeña y con un cambio de fase. Además, puede ver cómo se acumula la "distorsión" si alimenta un "seno" a partir de t = 0 (de hecho, un seno es un seno solo si comenzó a ser un seno hace un tiempo infinito). Verá que la salida está muy distorsionada (tiene una forma diferente) hasta que, cuando se alcanza el estado estable, se convierte en un seno desplazado.
Sredni Vashtar

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... y, por cierto, todo este 'aspecto similar' se reduce al hecho de que la función exponencial es auto-similar (se ve a sí misma sin importar cómo se traslade en el tiempo). También tiene un derivado que se ve exactamente igual a sí mismo, por lo que cuando agrega la identidad de Euler, ve por qué los senos y los cosenos son tan especiales.
Sredni Vashtar

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El circuito es un sistema lineal, y la respuesta de estado estable a una sinusoide de entrada será otra sinusoide a la misma frecuencia que la entrada. Tenga en cuenta que el estado estacionario significa la región del eje de tiempo donde la parte exponencial real de la respuesta completa ha decaído a cero.
Chu

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y=mi(σ+jω)t
carloc

Respuestas:


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Aprende a pensar en el espacio de frecuencias. Esta es una de esas cosas que es difícil de ver en el dominio del tiempo, pero cae muy bien en el dominio de la frecuencia.

Una onda sinusoidal es una frecuencia única "pura". Un filtro RC es un sistema lineal que no puede distorsionarse, lo que significa que no puede crear frecuencias en la salida que no estén en la entrada. Cuando solo pones una frecuencia, la salida solo puede contener esa frecuencia. Las únicas preguntas son cuál será la amplitud relativa y el cambio de fase de entrada a salida.

La razón por la que una onda cuadrada no produce una onda cuadrada es porque una onda cuadrada contiene muchas frecuencias. Cada uno de ellos se puede atenuar y cambiar de fase de forma independiente. Cuando cambia la fuerza relativa y las fases de los armónicos, obtiene una señal de aspecto diferente en el dominio del tiempo.

Una onda cuadrada puede considerarse como la superposición de una serie infinita de senos. Estos son todos los armónicos impares (múltiplos enteros impares de la frecuencia fundamental). La amplitud de estos armónicos disminuye a frecuencias más altas.

Puede pasar una onda cuadrada a través de varios filtros de paso bajo RC en sucesión, cada uno con una frecuencia de caída muy por debajo de la frecuencia de onda cuadrada. Después de cada filtro, el resultado se parece cada vez más a un seno. Esto se debe a que dichos filtros atenúan las frecuencias altas más que las bajas. Esto significa que los armónicos de la onda cuadrada se atenúan más que los fundamentales. Si haces esto lo suficiente, los armónicos tienen tan poca amplitud en relación con lo fundamental, que todo lo que ves es lo fundamental. Esa es una frecuencia única, entonces un seno.

Adicional

No es así como reaccionaría cualquier filtro RC:

Para un filtro de paso bajo RC, cuando la frecuencia de entrada está muy por debajo del rolloff, la salida generalmente sigue a la entrada. Muy por encima de la frecuencia de caída, la salida es la integral de la entrada.

De cualquier manera, no habrá cambios repentinos en la pendiente de salida como muestra. No hay nada especial en el cruce de entrada por encima o por debajo de la salida, ya que esto ocurre sin problemas. Obtiene un punto de inflexión en la salida, pero es una joroba suave ya que la entrada se aproxima sin problemas antes y sale sin problemas después.

Puede ser instructivo escribir un bucle para simular esto usted mismo. Todo lo que tiene que hacer en cada paso es cambiar la salida por una pequeña fracción de la diferencia instantánea de la entrada menos la salida. Eso es. Luego, arroje una onda sinusoidal hacia él y vea cómo la salida sigue suavemente para hacer otro seno, aunque se retrasa en la fase y baja en amplitud.


Gracias por la explicación clara (: ¡El dominio de frecuencia hace que sea más fácil entender por qué las entradas sinusoides producen salidas sinusoides! ¡Pero aún así es un poco mágico para mí cómo todos estos circuitos conocen las series de Fourier y responden a cada uno de los armónicos en la entrada por separado!
Hiiii

Hola, lo siento, entiendo en el dominio de la frecuencia, pero todavía no puedo convencer mi razonamiento en el dominio del tiempo -_- ¿Podrías mirar mi pregunta actualizada? He publicado una nueva foto. Gracias de nuevo :)
Hiiii

@Hiiii, no veo que una forma de onda se 'descomponga' en forma de onda sinusoidal. Observe que existen todas estas formas de onda sinusoidales separadas y que tenemos una visión 'falsa' de ellas como una forma de onda compleja única. La forma de onda compleja única es la vista de nivel superior, no la norma.
TonyM

@TonyM Gracias, creo que estoy empezando a entender en el dominio de la frecuencia. Pero me estoy confundiendo en el momento en que empiezo a pensar qué sucede en el dominio del tiempo. ¿Podrías mirar la pregunta actualizada? He agregado alguna explicación a la imagen ...
Hiiii

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@Hiii En el dominio del tiempo, si la entrada es cero para t <= 0 y una onda sinusoidal para t> = 0, la salida no será una onda sinusoidal inmediatamente después del tiempo t = 0. Habrá una respuesta transitoria, que se apaga con una constante de tiempo de 1 / RC, superpuesta a la onda sinusoidal. En el dominio de la frecuencia, "ignoras" ese transitorio, porque estás considerando la situación en la que la entrada es una onda sinusoidal para todos los tiempos, tanto en el pasado como en el futuro.
alephzero

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Recuerde que la tasa de cambio del voltaje del capacitor depende de la diferencia de voltaje entre el voltaje de entrada y el voltaje del capacitor. Tu gráfico no representa esto.

Cuando la entrada y el condensador están a 0 V y la entrada comienza a aumentar, el voltaje del condensador debe comenzar a aumentar lentamente, ya que el voltaje de entrada (y, por lo tanto, la diferencia de voltaje) también es pequeño.

Cuando la entrada alcanza su punto máximo, la diferencia de voltaje es máxima, y ​​aquí el voltaje del condensador aumenta más rápido. Cuando el voltaje de entrada comienza a disminuir, la velocidad de carga del condensador también disminuye. Después de que los dos voltajes se hayan encontrado, la diferencia es nuevamente pequeña para comenzar, por lo que la velocidad de descarga también es pequeña. Resulta que esto resulta en otra onda sinusoidal.

El siguiente gráfico fue simulado (con una hoja de cálculo) con la regla mencionada anteriormente. La diferencia de voltaje entre la entrada y el voltaje del condensador es mayor un poco antes del pico del voltaje de entrada.

2π

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En su gráfico, el condensador se descarga más rápido justo después de que se encuentran los dos voltajes, pero no es allí donde la diferencia de voltaje es mayor. Con una entrada de onda cuadrada, lo sería, ya que el voltaje de entrada no volvería a cambiar hasta otro "paso" en la onda cuadrada. Sin embargo, una entrada de onda sinusoidal cambia constantemente.


Hay algo fuera de lugar aquí. Obtengo diferentes resultados cualitativos con mi elección de filtro RC de paso bajo (límite en serie con resistencia, vin en toda la serie, vout en toda la resistencia). Obtengo una cuadratura entre Vcap e Icap (y, por lo tanto, Vout), pero nada como esa posición de línea verde entre Vin y Vcap (cuyo retraso está vinculado a RC). ¿Estamos usando el mismo circuito?
Sredni Vashtar

En caso de que las líneas rojas y azules se crucen (es decir, donde la entrada y el voltaje del capacitor son iguales), debe estar en los máximos / mínimos locales de la salida, o, como parece ser el caso de las parcelas, fraccionalmente adelante del mínimo / puntos máximos?
TripeHound

La simulación en Spice muestra que Vcap e Icap están desfasados ​​por 90 grados constantes, mientras que Vcap se queda atrás de Vin por una cantidad de tiempo correspondiente a RC. Las líneas verdes no tenían un significado particular en este gráfico (debería haber estado en el gráfico Vcap, Icap, en cambio), por lo que es bueno que hayan desaparecido. Vin y Vout están fuera de fase de 90 grados más dicho retraso.
Sredni Vashtar

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Obtendrá una onda sinusoidal de una onda sinusoidal si su constante de tiempo RC permite que el capacitor se cargue / descargue a la misma velocidad o más rápido a medida que cambia la forma de onda de entrada.

Su forma de onda de salida se retrasará debido a que el capacitor se carga y descarga ligeramente detrás de los cambios en la forma de onda de entrada, lo que se conoce como retraso de fase.

Encontrará muchas de las teorías y matemáticas detrás de esto en Internet, si aún no lo tiene.


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Su primera oración es técnicamente correcta, pero deja la impresión errónea de que no obtendría un seno en respuesta a un seno en ciertas constantes de tiempo RC. Un seno en un filtro de paso bajo RC siempre produce un seno. La única pregunta es la cantidad de atenuación y cambio de fase, pero la función siempre será un seno.
Olin Lathrop

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@OlinLathrop, ya veo. Estaba tratando de mantener una 'vista DC', si lo desea, manteniendo el comportamiento de carga de un circuito RC. Entonces, una onda sinusoidal de alta frecuencia en un filtro de paso bajo (por ejemplo, 1 MHz en un RC de paso bajo fc = 1 kHz) no producirá nada. Matemáticamente no es cierto, pero es lo que sucede si pega un alcance a uno. Casi escribí 'Esta es una visión no matemática' en el párrafo 3, para mostrar que estoy tratando de transmitir una idea. ¿Tiene más sentido, bueno, malo o necesita edición?
TonyM

Creo que deberías agregar la atenuación. El filtro "ralentiza" la onda sinusoidal más a medida que aumenta la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada, lo que no cambia la forma, pero sí cambia la fase relativa y la amplitud. La respuesta aceptada también me parece incompleta a este respecto.
Todd Wilcox

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Para mí, el dominio del tiempo aquí es más explicativo. Si observa su primer gráfico, verá lo que aparece como una función de paso (para el primer medio período). Es decir, de repente aplicas un voltaje y luego lo mantienes constante. Esto significa que el condensador intentará alcanzar el voltaje aplicado de acuerdo con sus propias leyes, aquí en la forma 1-exp(-x).

Si, por otro lado, aplica una onda sinusoidal, durante el mismo medio período ya no tiene un fuerte aumento de voltaje, y no se mantiene constante: aumentará más y más lentamente, hasta que se alcance un pico, entonces disminuirá más y más rápido, veraniegamente alrededor de su pico. Esto significa que el capacitor primero se cargará, más y más lentamente, luego se descargará, cada vez más rápido. Lo que ha dibujado es el resultado de (al menos) una carga continua; el seno también se descargará.

RCpecado(X)=yomiXpags(-yoX)-miXpags(yoX)2

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