Energía en condensadores: ¿pérdida?

La energía almacenada en un condensador es

U = \frac{1}{2} C V^{2}

$U= \dfrac{1}{2} CV^2$

Entonces, cuando tengo un supercap de 1F cargado a 1V, la energía es 0.5 J. Cuando conecto un segundo supercap, también 1F en paralelo la carga se distribuirá y el voltaje se reducirá a la mitad. Luego

U = \frac{1}{2} 2 F (0.5 V)^{2} = 0.25 J

$U = \dfrac{1}{2} 2F (0.5V)^2 = 0.25 J$

¿Qué pasó con los otros 0.25 J?

capacitor

— Federico Russo
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@ W5VO: ¿Cómo es eso? No veo nada sobre pérdidas en las ecuaciones.

— Federico Russo

W5Vo: Olvida que la carga también debe conservarse.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop Sí, tienes razón.

— W5VO

Federico, dada una vaca esférica en una superficie sin fricción :) (que es lo que están haciendo tus matemáticas), ¿por qué supones que el voltaje terminará en 1 / 2V? Si la carga es constante, me imagino que ambas tapas se asentarían en algo más como 0.71V ... preservando la energía almacenada.

— Bryan Boettcher

@insta: solo inténtalo. Verás que es V / 2.

— Federico Russo

Respuestas:

Moviste energía de un lugar a otro y no puedes hacer eso sin castigo. Si conectó los dos condensadores a través de una resistencia, el 0.25J se convirtió en calor en la resistencia. Si acaba de acortar las tapas, gran parte de la energía habrá irradiado en la chispa, el resto nuevamente se pierde como calor en las resistencias internas de los condensadores.

lecturas adicionales
Pérdida de energía al cargar un condensador

— stevenvh
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Agregaré que dado que el proceso de igualación es espontáneo, debe ocurrir a expensas de la energía. Como en la analogía del agua, si divide el agua entre dos recipientes colocados a la misma altura, la altura promedio será menor, lo que significa menos energía potencial (mgh).

— clabacchio

@clabacchio: su "menos energía potencial" no muestra la pérdida de energía, al igual que la pérdida de energía no es obvia por el voltaje más bajo sin la fórmula.

— stevenvh

Lo sé, no fue una demostración rigurosa, solo para demostrar que la menor energía se justifica por el hecho de que la "entropía" o desorden aumenta y eso disminuye la energía.

— clabacchio

"No puedes hacer eso sin castigo". Por qué no? ¿Leyes de la termodinámica?

— Federico Russo

@ Federico - Sí, el primero. Debe realizar un trabajo (energía) para mover la energía dentro o fuera de un sistema cerrado (el condensador).

— stevenvh

Estoy de acuerdo con Steven, pero aquí hay otra forma de pensar sobre este problema.

Supongamos que tenemos dos lindos y perfectos condensadores de 1 F. No tienen resistencia interna, no tienen fugas, etc. Si una tapa se carga a 1 V y la otra a 0 V, es difícil ver qué sucede realmente si estuvieran conectadas porque la corriente sería infinita.

En cambio, vamos a conectarlos con un inductor. Que esta sea otra parte perfecta ideal sin resistencia. Ahora todo se comporta bien y se puede calcular. Inicialmente, la diferencia de 1 V inicia el flujo de corriente en el inductor. Esta corriente aumentará hasta que las dos tapas alcancen el mismo voltaje, que es 1/2 V. Ahora tiene 1/8 J en una tapa y 1/8 J en la otra tapa para un total de 1/4 J como tu dijiste. Sin embargo, ahora podemos ver a dónde se fue la energía extra. La corriente del inductor es máxima en este punto, y los 1/4 J restantes se almacenan en el inductor.

Si mantuvieramos todo conectado, la energía se movería de un lado a otro entre las dos tapas y el inductor para siempre. El inductor actúa como un volante para la corriente. Cuando las tapas alcanzan el mismo voltaje, la corriente del inductor está en su máximo. La corriente del inductor continuará, pero ahora disminuirá debido al voltaje inverso a través de ella. La corriente continuará hasta que el primer límite esté a 0 V y el segundo a 1 V. En ese punto, toda la energía se ha transferido al segundo límite y ninguno está en el primer límite o en el inductor. Ahora estamos en el mismo punto en el que comenzamos, excepto que los límites están invertidos. Esperemos que pueda ver que el 1/2 J de energía continuará chapoteando de un lado a otro para siempre con los voltajes de la tapa y la corriente del inductor siendo ondas sinusoidales. En cualquier punto Las energías de las dos tapas y el inductor se suman al 1/2 J con el que comenzamos. La energía no se pierde, solo se mueve constantemente.

Adicional:

Esto es para responder más directamente a su pregunta original. Supongamos que conecta las dos tapas con una resistencia en el medio. El voltaje en ambas tapas será una disminución exponencial hacia el estado estable de 1/2 V como antes. Sin embargo, había corriente a través de la resistencia que la calentaba. Obviamente, no puede utilizar parte de la energía original para calentar la resistencia y terminar con la misma cantidad.

Para explicar esto en términos de la analogía del tanque de agua de Russell, en lugar de abrir una válvula entre los dos tanques, podría colocar una pequeña turbina en línea. Puede extraer energía de esa turbina, ya que es impulsada por el agua que fluye entre los dos tanques. Obviamente, eso significa que el estado final de los dos tanques no puede contener tanta energía como el estado inicial, ya que algunos se extrajeron como trabajo a través de la turbina.

— Olin Lathrop
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Y, considerando que cualquier circuito cerrado es de hecho un inductor, esto sucede incluso cuando conecta directamente dos condensadores idealizados.

— Leftaroundabout

Otra cosa a tener en cuenta es que, si bien no se puede calcular directamente la pérdida de potencia en el caso de resistencia cero e inductancia cero, se puede observar que para cualquier cantidad de resistencia distinta de cero, la cantidad de energía perdida se acercará asintóticamente a la mitad de la cantidad original. Cuando la inductancia es cero, el tiempo requerido para perder cualquier fracción particular de esa energía será inversamente proporcional a la resistencia. Por lo tanto, una resistencia infinitesimal disipará la mitad de la energía en la tapa en una cantidad infinitesimal de tiempo.

— supercat

$I^2R$ $V/2$ $R$ $I^2$

Puede obtener un resultado diferente utilizando un método "anormal".
Si utiliza un convertidor buck ideal, tomará Vin x Iin en la entrada y lo convertirá en el Vout x Iout "correcto" en la salida para no permitir pérdidas resistivas u otras pérdidas. El resultado se determina fácilmente pero no es intuitivo. Hacer que el convertidor buck no sea ideal puede darle un resultado en el rango teórico del 95% al 99%.

U = 0.5 C V^{2}

$U = 0.5 C V^2$

0.5 = 0.5 \times 2 \times V^{2}

$0.5 = 0.5 \times 2 \times V^2$

V = \sqrt{0.5} - 0.7071 V

$V = \sqrt{0.5} - 0.7071 V$

Podemos intentarlo nuevamente usando solo uno de los condensadores. Como tenemos 0.5 J inicialmente obtenemos 0.25 J en un límite al final.

0.25 = 0.5 \times 1 \times V^{2}

$0.25 = 0.5 \times 1 \times V^2$

V = \sqrt{0.5} = 0.7071 V

$V = \sqrt{0.5} = 0.7071 V$

Mismo resultado, como se esperaba.

A primera vista, pensé que la analogía del tanque de agua era incorrecta en este caso, pero también funciona bastante bien para parte del problema. La diferencia es que, si bien podemos modelar el caso con pérdidas lo suficientemente bien, el caso sin pérdidas no tiene sentido físicamente.
es decir, un tanque de 10,000 litros de 4 metros de altura tiene una energía de 0.5mgh.
h es la altura promedio = 2 metros.
Tengamos g = 10 (MASCON cerca :-)).
1 litro pesa 1 kg.

E = 0.5 m g h = 0.5 \times 10000 \times 10 \times 2 = 100 k J

$E = 0.5mgh = 0.5 \times 10000 \times 10 \times 2 = 100 kJ$

Ahora extraiga la mitad del agua en un segundo tanque idéntico.
Nueva profundidad = 2m. Nueva profundidad media = 1 m. Nuevo contenido = 5000 litros
Por tanque de energía = 0.5mgh = 0.5 x 5000 x 10 x 1 = 25,000 Joule
Energía en 2 tanques = 2 x 25 000 J = 50 kJ.
La mitad de nuestra energía se ha perdido.

Con un "convertidor de inversión de agua", cada tanque estaría lleno en un 70.71% y habríamos hecho más agua.
En este aspecto, el modelo falla.
Desafortunadamente :-).

— Russell McMahon
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