S = VI * / 2 derivación

Me preguntaba dónde podría encontrar la derivación para la fórmula de potencia compleja, S = VI * / 2, donde S, V e I son fasores complejos.

He visto un montón de verificaciones en las que las personas introducen cosas en la ecuación para mostrar que sucede.

Esto es lo que sé hasta ahora, si e y , entonces y y S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— usuario968243
fuente

Tendrá que definir S, V, I y lo que se suponga que significa "* /".

— Olin Lathrop

@OlinLathrop, es I * para el conjugado complejo de I (actual) y dividido por dos, ya que ambas son ondas sin (V e I *), por lo que ambas tienen su conversión RMS.

— Kortuk

Deje V y yo ser el voltaje instantáneo y la corriente en una carga. A partir de la definición de potencia, voltaje y corriente, tenemos la relación de potencia instantánea:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Lo que significa que la potencia en un instante dado es igual al producto del voltaje y la corriente exactamente en ese instante. $t$

Asumiré que estás familiarizado con lo que realmente significa la representación fasorial. Solo para decirlo en breve: un fasor es una abreviatura matemática para representar una sinusoide a una frecuencia desconocida dada.

Entonces, es una abreviatura de . Del mismo modo: significa . $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Multiplicar para todo , nos da la forma de onda de la potencia instantánea para cada . Trabajando en esa multiplicación: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Como , con y , podemos simplificar la ecuación anterior a: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Esta forma de onda es bastante interesante en sí misma: es un valor constante sumado por una sinusoide . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Esto muestra claramente que el poder instantáneo no es constante con el tiempo.

En base a ese resultado, podemos ver que la potencia media es igual al componente no variable de (es bastante sencillo demostrar que matemáticamente, uno solo tiene que resolver la integral ) $s(t)$ $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Motivado por este resultado, y por la dulce interpretación geométrica de , ese valor se ha definido como el poder real , es decir, el poder que realmente se entrega a la carga. Ahora sabe que esta llamada potencia real no es más que la potencia media en la carga. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Profundizando un poco en este concepto (es una pena que no pueda dibujar aquí, pero lo intentaré):

Sea v un vector con magnitud || v || y fase , y yo seré un vector con magnitud || i || y fase Si multiplicas || i || por tienes la proyección de i sobre v . Por otro lado, se dice que es el componente de i en cuadratura con v . $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

Ahora puede entender por qué la potencia media tiene una interpretación geométrica genial: la potencia media es el voltaje multiplicado por la proyección de la corriente sobre el voltaje, en el espacio fasorial.

Esto motivó la creación del complejo poder S como:

S = P + jQ

Con esta definición, la parte real del vector es exactamente la potencia media entregada a la carga, y la parte compleja es la potencia que se dice que está en cuadratura , llamada potencia reactiva (google for Power Triangle para ver la interpretación geométrica de este resultado) .

Ok, ahora volviendo a la definición , vemos que y , por definición, y para cumplir con la definición de S, es igual a $s(t)$ $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Entonces, como queríamos probar al principio:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Entonces, ahí tienes, lo que querías ver;)

editar : ¿Cuál es la interpretación física de Q?

He mostrado arriba cuál es la interpretación física de la parte real de la potencia compleja, P, es decir, la potencia media entregada a la carga. Pero, ¿qué es exactamente Q, cómo se puede visualizar? Se basa en el hecho de que cos y sin son ortogonales , y el principio de superposición se puede aplicar a la potencia si las dos formas de onda involucradas en el cálculo son ortogonales. Vamos a las matemáticas, porque eso es realmente lo que importa.

Usando el resultado obtenido anteriormente: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Primer caso: carga puramente resistiva, de modo que

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Esa es una sinusoide centrada en con esa misma amplitud (su valor mínimo es 0 y su valor máximo es ). Llamémoslo P $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

Segundo caso: carga puramente inductiva, de modo que

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Esa es una forma de onda puramente oscilatorio con el valor medio igual a 0. llamada de Let este resultado Q .

Tercer caso: el caso genérico

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

En este caso, s (t) es exactamente la ecuación general que encontramos en la discusión anterior. Pero podemos reescribir eso para hacer uso del resultado de los dos casos anteriores, así:

Primero, reescribimos la ecuación en términos de (observe que ): Sabiendo que: , dejando que y $\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Reorganizando los términos:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Usando el resultado de los dos primeros casos anteriores:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

Un resultado sorprendente, ¿verdad? Qué significa eso?

Volvamos a lo que estamos haciendo: calcular la potencia para el caso genérico donde , es decir, resolver la ecuación: $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

¿Podemos reescribir en forma de ? $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

Intentemos:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \ $

Dejar y $\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

Con la relación:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

Tenemos:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Justo lo que queríamos, reescribir i (t) como una suma de dos componentes: ¡uno en fase con v (t) y otro en cuadratura con v (t)!

Ahora se puede explicar el resultado del caso 3: i (t) se puede descomponer en dos componentes, como se muestra arriba, y la potencia generada por i (t) es igual a la potencia generada por cada uno de estos componentes individualmente . ¡Vaya, como superposición pero por poder! ( Recuerde que esto solo es cierto, y se demostró anteriormente, porque cos y sin son ortogonales )

Entonces Q es la cantidad de energía generada por el componente de i (t) que está en cuadratura con v (t). Es puramente oscilatorio y no tiene valor medio.

P es la cantidad de energía generada por el componente de i (t) que está en fase con v (t). Es oscilatorio pero tiene un valor medio que es igual a la potencia media entregada a la carga.

Y la potencia compleja S , la potencia total, es exactamente la suma de estos dos componentes.

— Castilho
fuente

¡Gracias por tu buena explicación! Sin embargo, tengo algunas preguntas: 1. No sigo lo que sucedió con . Pensé que este término sería el poder reactivo, Q; sin embargo, . 2. No entiendo cómo de tp . Es como si es un fasor, pero es solo una constante. ¡Gracias de nuevo por su respuesta!

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

— user968243

Sí. tiene razón, eso NO es Q. La potencia reactiva se define solo en términos de la diferencia de fase entre voltaje y tensión, y es un valor que está directamente relacionado con la definición de S como fasor. Es la potencia que entregaría la corriente en cuadratura con el voltaje. El componente que varía con el tiempo no se tiene en cuenta, porque en este sentido lo que realmente importa es la potencia media en la carga. La parte variable EXISTE está realmente allí (mire una bombilla incandescente, por ejemplo), pero, con el tiempo, la potencia se relaciona solo con la parte estática de s (t). ;)

— Castilho

De acuerdo, ¿esta parte variable tiene un nombre especial? De todos modos, si lo entiendo correctamente, la cantidad de I en la dirección de V es la potencia real, y la cantidad de I, perpendicular a V es la potencia compleja.

— user968243

casi eso, la cantidad de I en la dirección de V multiplicada por V es la potencia real P, la cantidad de I perpendicular a V multiplicada por V es la potencia REACTIVA Q, P + jQ es la potencia compleja o potencia aparente;)

— Castilho

Ok, eso tiene sentido! En realidad, en mi comentario anterior, estaba preguntando cuál es el nombre de esto: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Realmente pensé que era el poder reactivo ... Gracias por tus reples por cierto, ¡estoy agradecido!

— user968243