Impedancias complejas

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¿Qué significa tener una impedancia compleja?

Por ejemplo, la impedancia de un condensador (en el dominio de Laplace?) Viene dada por 1 / sC (creo) que equivale a donde están los transitorios descuidado. ¿Qué significa que la impedancia sea imaginaria? $\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Actualmente estoy en mi segundo año de Ingeniería Eléctrica en la Universidad, por lo que, si es posible, agradecería una respuesta matemáticamente válida y exhaustiva si no es demasiado problema, con la referencia del material de estudio (recursos web y en papel) ideal.

Gracias por adelantado.

impedance

— JonaGik
fuente

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¿No estás estudiando exactamente esto en tus cursos? Seguramente ya tienes un libro de texto o dos que entra en esto en gran detalle. Este es un tema muy amplio que es difícil de responder sin una pregunta más específica.

— Olin Lathrop

Un recurso adicional

— clabacchio

Parece que los libros de texto que supongo ya se conocen de cursos anteriores (y no nos enseñaron esto). Además de esto, mis profesores barajaron su orden, por lo que probablemente se nos va a enseñar más tarde, pero no antes de que lo necesitemos.

— JonaGik

Parece que su tema dejó muchos temas intactos, y es muy inconveniente para un curso de ingeniería ...

— clabacchio

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TL; DR La parte imaginaria de la impedancia le dice el componente reactivo de la impedancia; esto es responsable (entre otros) de la diferencia de fase entre corriente y voltaje y la potencia reactiva utilizada por el circuito.

El principio subyacente es que cualquier señal periódica puede tratarse como la suma de (a veces) ondas sinusoidales infinitas llamadas armónicas, con frecuencias igualmente espaciadas. Cada uno de ellos puede ser tratado por separado, como una señal propia.

Para estas señales, utiliza una representación que es como:

v (t) = V_{0} \cos (2 π f t + ϕ) = ℜ {V_{0} e^{j 2 π f t + ϕ}}

$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$

Y puede ver que ya saltamos en el dominio de los números complejos, porque puede usar un exponencial complejo para representar la rotación.

Entonces la impedancia puede ser activa (resistencia) o reactiva (reactancia); mientras que el primero, por definición, no afecta la fase de las señales ( ), la reactancia sí lo hace, por lo que es posible utilizar números complejos para evaluar la variación en la fase introducida por la reactancia. $\phi$

Entonces obtienes:

V = I \cdot Z = I \cdot | Z | \cdot e^{j θ}

$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$

donde | Z | es la magnitud de la impedancia, dada por:

| Z | = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$

y theta es la fase introducida por la impedancia, y está dada por:

θ = \arctan (\frac{X}{R})

$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$

Cuando se aplica a la función anterior, se convierte en:

v (t) = ℜ {I_{0} | Z | e^{j 2 π f t + ϕ + θ}} = I_{0} | Z | \cos (2 π f t + ϕ + θ)

$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$

Consideremos el condensador ideal: su impedancia será que es imaginaria y negativa; Si lo coloca en la circunferencia trigonométrica, obtiene una fase de -90 °, lo que significa que con una carga puramente capacitiva el voltaje estará 90 ° por detrás de la corriente. $\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

¿Entonces por qué?

Digamos que desea sumar dos impedancias, 100 Ohm y 50 + i50 Ohm (o, sin números complejos, ). Luego, con números complejos, sumas la parte real e imaginaria y obtienes 150 + i50 Ohm. $70.7 \angle 45 ^\circ$

Sin usar números complejos, la cosa es bastante más complicada, ya que puedes usar cosenos y senos (pero es lo mismo que usar números complejos entonces) o meterte en un lío de magnitudes y fases. Tu decides :).

Teoría

Algunas nociones adicionales, tratando de responder a sus preguntas:

La representación armónica de las señales generalmente se aborda mediante la descomposición de la serie de Fourier

v (t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n t}, where c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} v (t) e^{- j n t} d t

$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$

El exponencial complejo está relacionado con el coseno también por la fórmula de Euler :

c o s (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}

$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

— clabacchio
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Muchas gracias por tu respuesta. Con respecto a su ecuación v (t), solo para aclarar, ¿quiere decir v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + ... + vn cos (2pi fn t + phi) (ya que la señal se puede representar como un número posiblemente infinito de sinusoides de diferentes frecuencias)? Entonces, ¿deriva el término R (V0 exp (j2pift + phi)) de cos (x) = 0.5 exp (ix) + 0.5 exp (-ix)? Si este es el caso, ¿a dónde va el término 0.5 exp (-2pift ...)? Además, en la ecuación de la ley de Ohm, presumiblemente V (t) se evalúa como una expresión real, pero exp (j omega) no, entonces, ¿cómo funciona esto? Gracias de nuevo.

— JonaGik

MMH muchas preguntas :). Sobre el primero, no exactamente: verifique la representación de la serie de Fourier, pero en teoría también son posibles otras descomposiciones; sobre lo exponencial, sí, es la equivalencia de Eulero. Lo mismo es cierto para la última pregunta: el exponencial complejo da la rotación, pero luego se toma solo la parte real.

— clabacchio

Wow, esa es una respuesta rápida! ¿Por qué solo se toma la parte real? Eso no parece matemáticamente válido. Gracias de nuevo.

— JonaGik

¿Es esto lo que me estoy perdiendo? "Aexp (i omega) ... se entiende como una notación abreviada, que codifica la amplitud y la fase de una sinusoide subyacente". de en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . ¿Es la idea de que la representación de números complejos es la abreviatura de la representación de un ángulo (fase) y una magnitud?

— JonaGik

@JonaGik sí, es una representación conveniente de señales sinusoidales, como también dice la página wiki. Yo diría que cada objeto matemático es una abreviatura para representar o resolver un problema real ...

— clabacchio

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Estoy seguro de que esto no responderá completamente a su pregunta, de hecho, espero que esto complemente las respuestas ya dadas que parecen descuidar: el concepto detrás del uso de números complejos (que, como ya se dijo, es solo un nombre elegante para un tipo de "cantidad" matemática, si se quiere).

La primera pregunta principal aquí que debemos responder es por qué los números complejos. Y para responder a esta pregunta, debemos comprender la necesidad de los diferentes conjuntos de números, desde los números naturales hasta los reales.

Desde temprana edad, los números naturales permitieron que las personas contaran, por ejemplo, manzanas y naranjas en un mercado. Luego, se introdujeron los números enteros para abordar el concepto de "deuda" por medio de números negativos (este era un concepto difícil de entender en ese momento). Ahora, las cosas se vuelven más interesantes con los números racionales y la necesidad de representar "cantidades" con fracciones. Lo interesante de estos números es que necesitamos dos enteros, y no solo uno (como con los números naturales y enteros), por ejemplo 3/8. Esta forma de representar "cantidades" es muy útil, por ejemplo, para describir el número de rebanadas (3) que quedan en un pastel de 8 rebanadas, cuando ya se comieron 5 :) (¡no se podía hacer esto con un entero!).

Ahora, saltemos los números irracionales y reales y vayamos a los números complejos. Los ingenieros electrónicos se enfrentaron al desafío de describir y operar un tipo diferente de "cantidad", el voltaje sinusoidal (y la corriente) en un circuito lineal (es decir, hecho de resistencias, condensadores e inductores). Adivina qué, encontraron que los números complejos eran la solución.

Los ingenieros sabían que los sinusoides estaban representados por 3 componentes, es decir, A (amplitud), (frecuencia angular) y fase ( ): $\omega$ $\phi$

y (t) = A \cdot s i n (ω t + ϕ)

$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$

También se dieron cuenta de que en un circuito lineal la frecuencia angular ( ) no cambiaría de nodo a nodo, es decir, no importa en qué punto del circuito estuvieras sondeando, solo verías diferencias en términos de amplitud y fase, no frecuencia. Luego concluyeron que la parte interesante (variable) de un voltaje (o corriente) sinusoidal era su amplitud y fase. Entonces, tal como lo hacemos con los números racionales, necesitamos dos números para representar el voltaje sinusoidal variable en un nodo de circuito lineal, en este caso (A, phi). De hecho, se dieron cuenta de que el álgebra de números complejos, es decir, la forma en que opera y relaciona estos números entre sí, se ajusta como un guante con la forma en que los sinusoides son operados por circuitos lineales. $\omega$

Entonces, cuando dice que la impedancia de un condensador es es decir, (A = 1 / C, phi = -90º) en la notación adoptada anteriormente, en realidad está diciendo que el voltaje es retrasado 90º con respecto a la fase actual. Y, por favor, olvide esa nomenclatura "trascendental" sobre lo imaginario y lo complejo ... de hecho estamos hablando de "cantidades" con dos componentes ortogonales (es decir, "que no se mezclan, no importa cuán fuerte los agite en una copa de cóctel"). "), al igual que los vectores, que representan dos aspectos físicos diferentes de los fenómenos. $\frac{1}{j \omega C}$

ACTUALIZAR

También hay algunas notas que recomiendo leer, "Introducción al análisis complejo para ingenieros" de Michael D. Alder. Este es un enfoque muy amigable al tema. En particular, recomiendo el primer capítulo.

— gmagno
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El uso de números complejos es una forma matemática de representar componentes tanto en fase como fuera de fase: la corriente con respecto al voltaje. La impedancia imaginaria no significa que la impedancia no exista, significa que la corriente y el voltaje están desfasados entre sí. Del mismo modo, una impedancia real no significa real en el sentido cotidiano, solo que la corriente está en fase con el voltaje.

— Martín
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Entiendo estas ideas conceptualmente, me preguntaba cómo funciona realmente una impedancia compleja: ¿cuál es la razón matemática para que sea compleja y cómo se deriva?

— JonaGik

@JonaGik, ¿dónde faltaba mi respuesta? Pensé que estaba respondiendo a esta razón matemática ...

— clabacchio

¿Es esto correcto? ¿Es la idea de que la representación de números complejos es la abreviatura de la representación de un ángulo (fase) y una magnitud? Entonces, cuando interpretamos una impedancia compleja, ¿consideramos que simplemente representa el retraso de fase y la magnitud?

— JonaGik

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Las descripciones a continuación BUSCAN desmitificar lo que se entiende por cantidades "complejas" en un contexto RCL. Los conceptos de componentes "imaginarios" son una metáfora útil que tiende a cegar a las personas ante las simples realidades subyacentes. El texto a continuación habla en términos de RC y no toca los misterios de LC que en realidad ya no son más misteriosos.
Sería de gran beneficio para usted hacer todo lo posible para abordar la mayoría de los puntos planteados utilizando un libro de texto o un motor de búsqueda en Internet antes de buscar explicaciones de otros PORQUE esta pregunta es muy fundamental para los conceptos básicos de los circuitos de CA con reactivo componentes. Lidiar con preguntas difíciles establece una precedencia sobre cómo tratará cosas similares a lo largo de su educación e Internet tiene probablemente millones de páginas que tratan este tema (Gargoyle dice ~ = 11 millones, pero ¿quién puede decirlo?). El grado de detalle y minuciosidad que solicita no es realista en un sitio como este, dada la gran cantidad de detalles realmente "por ahí". (A menos que los propietarios del sitio intenten replicar un subconjunto de Wikipedia).

Entonces, creo que ayudarlo a comprender los conceptos básicos es una buena idea para que pueda recogerlo y ejecutarlo desde allí. Entonces ...

Si conecta un terminal de entrada a una resistencia en serie a un capacitor y el otro capacitor está "conectado a tierra", obtendrá un circuito RC en serie:
Vin - resistencia - capacitor - tierra.

Si ahora aplica un voltaje escalonado a la entrada, la corriente del condensador se ajustará, pero el condensador comenzará a cargarse usando este voltaje para producir corriente en la resistencia. El aumento de voltaje será exponencial porque la corriente que fluye hacia el capacitor será acosada por Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. es decir, a medida que Vcap aumenta, el potencial a través de la resistencia disminuye y la corriente disminuye. En teoría, tomará un tiempo infinito para que Vcap llegue a Vin, pero en la práctica es más o menos "allí en aproximadamente 3 constantes de tiempo donde
t = RC = el tiempo necesario para que Iin caiga a 1 / e th de su valor inicial. El qué y por qué del término 1 / e que ya conoce o hará después de leer las referencias.

AHORA, si aplicamos una señal de onda cuadrada, el capacitor se cargará como anteriormente cuando la entrada es positiva y se descargará de manera exponencial similar cuando la entrada esté conectada a tierra o sea negativa. Mientras que la corriente del condensador seguirá a Vin y será máxima cuando Vin transicione alto / bajo o bajo alto, el voltaje del condensador, por las razones descritas anteriormente, se retrasará por detrás del voltaje de entrada. Una vez que se ha alcanzado el estado estable, si traza Vcap y I cap, encontrará dos formas de onda compensadas en hasta casi 90 grados o tan poco como casi grados donde un ciclo de entrada completo = 360 grados. La distancia entre el voltaje del capacitor y su corriente depende de la frecuencia de entrada y la constante de tiempo RC.

Para los no iniciados, esto puede parecer mágico (o el uso de tiotimolina *), con una forma de onda de corriente que ocurre hasta 1/4 de ciclo antes de su voltaje, PERO esto es solo porque la razón lógica de esto, como se explicó anteriormente, no es necesariamente intuitivamente obvio en la inspección.

Si comienza a peinar condensadores, resistencias e inductores de varias maneras, necesita poder lidiar matemáticamente con las fases relativas de las distintas formas de onda. [En la primera introducción puede parecer que los fasores están configurados para aturdir].

Una figura competente, o un vistazo a algunos de los aproximadamente 10 millones de páginas web sobre el tema, indicarán que cuando tiene dos formas de onda que varían en relación de fase entre sí y que se basan en una relación exponencial mutua, entonces cada forma de onda se puede representar mediante una representación polar de la forma [R, Theta] que en términos se puede representar como un número complejo que tiene componentes X e Y que reflejan la forma polar.

El "vector" polar que representa la relación de voltaje y corriente en una situación dada usa una "metáfora" del brazo del vector giratorio que proporciona la longitud del brazo y el ángulo de fase con respecto a una referencia. Esta "metáfora" puede ser reemplazada por un componente X e Y donde la magnitud de la forma polar está dada por R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) y cuyo ángulo theta está dado por tan ^ -1 (X / Y ) Esto se puede ver en forma esquemática a continuación.

ingrese la descripción de la imagen aquí

De aquí

ADVERTENCIA : no se deje engañar por la terminología.

Tenga en cuenta que el término "número complejo" es simplemente jerga. El uso de sqrt (-1) es una parte útil de la metáfora que permite que la aritmética funcione PERO las cantidades reales involucradas son completamente reales y "ordinarias". Cuando se utilizan elementos reactivos como inductores y condensadores, la potencia ya no será simplemente el producto de los términos de magnitud en los vectores de voltaje y corriente. es decir, el poder de V.sin (fred) x I.sin (Josepine) no (generalmente) = VI. Esto no implica nada especial, mágico, complejo o imaginario sobre las variables involucradas, es solo que son variantes del tiempo y sus magnitudes máximas generalmente no coincidirán.

Lectura adicional: muy recomendable:

Impedancia electrica

Circuito RC

Circuito LC

Calculadora de impedancia compleja

Yo Asimov

— Russell McMahon
fuente

@Kortuk: la gran mayoría de lo anterior se había escrito antes de mi respuesta escrita inicial, pero en ese momento no lo publiqué , pero puede haberse agregado a su debido tiempo cuando se verificó mejor. Como sabrán, a menudo agrego grandes tramos de material a las publicaciones iniciales. En su caso, su enfoque de zanahoria y palo (sin zanahoria) fue bastante desmotivador, pero parece una pena dejar que los estilos de motivación mal dirigidos logren sus efectos más normales. Algunos responden lo suficientemente bien a los suaves golpes alrededor de la oreja, pero no la mayoría, he encontrado. Algunos aquí no están de acuerdo :-).

— Russell McMahon

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Expresar la capacitancia y la inductancia como resistencias imaginarias tiene la ventaja de que puede usar métodos bien conocidos para resolver problemas lineales con resistencias para resolver problemas lineales con resistencias, condensadores e inductores.

Tales problemas lineales y sus métodos bien conocidos son, por ejemplo,

Problema: calcular la resistencia de dos resistencias en serie
Método: R = R1 + R2
también se puede utilizar para calcular la impedancia de resistencia / condensador / inductor en serie con otra resistencia / condensador / inductor
Problema: calcular la resistencia de dos resistencias en paralelo
Método: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
también se puede utilizar para calcular la impedancia de resistencia / capacitor / inductor en paralelo con otra resistencia / capacitor / inductor
Problema: resolver una red que contiene resistencias, fuentes de corriente continua y voltaje de CC
Método: resolver un sistema simultáneo de ecuaciones lineales
también se puede utilizar para resolver una red que contiene resistencias, condensadores, inductores, voltaje de CA o CC y fuentes de corriente de CA o CC
etc.

Todas esas fórmulas / métodos que funcionan con valores de resistencia reales (solo resistores) y fuentes de CC funcionan igual de bien con valores complejos (resistencias, inductores, condensadores) y fuentes de CA.

— Cuajada
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Aunque no hay necesariamente ninguna razón intuitiva por la que el uso de números complejos para representar una combinación de señales en fase y fuera de fase debería ser útil, resulta que las reglas aritméticas para números complejos se ajustan muy bien con el comportamiento real y interacción de resistencias, condensadores e inductores.

Un número complejo es la suma de dos partes: la parte real y una parte "imaginaria", que puede representarse por un número real multiplicado por i , que se define como la raíz cuadrada de -1. Se puede escribir un número complejo en la forma A + Bi , siendo A y B números reales. Luego, se pueden usar las reglas de la aritmética polinómica para actuar sobre números complejos tratando i como una variable, pero también se puede reemplazar i² por -1 (por ejemplo, el producto de Pi × Qi es -P × Q).

En cualquier frecuencia particular, se puede determinar cómo se comportará una red de resistencias, inductores y condensadores calculando la impedancia efectiva de cada elemento y luego usando la ley de Ohm para calcular la resistencia efectiva de las combinaciones en serie y en paralelo, y los voltajes y corrientes a través de ellos. Además, debido a que las resistencias, los condensadores y los inductores son todos dispositivos lineales, uno puede calcular cómo se comportará la red cuando se inyectan combinaciones de frecuencias calculando lo que harán con cada frecuencia en particular y luego sumando los resultados. La aritmética compleja puede ser muy útil cuando se trata de analizar el comportamiento de cosas como los filtros, ya que permite calcular la salida del filtro en función de la entrada. Alimentó una señal de entrada de algún número real vvoltios a alguna frecuencia f , se puede calcular el voltaje o la corriente en cualquier nodo en particular; la porción real estará en fase con la forma de onda inyectada, y la porción imaginaria estará desfasada 90 grados. En lugar de tener que usar ecuaciones diferenciales sofisticadas para resolver el comportamiento del circuito, se puede hacer una aritmética relativamente básica con números complejos.

— Super gato
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Los números complejos se usan en ingeniería eléctrica para cantidades que tienen una magnitud y una fase. La impedancia eléctrica es la relación de corriente a voltaje. Para corrientes y tensiones de CA, las formas de onda de corriente y tensión pueden no estar en fase; la fase de la impedancia te dice esta diferencia de fase.

— nibot
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¿Por qué el voto negativo?

— nibot