Cuándo se requiere o se permite muestrear por debajo de la tasa de Nyquist

He buscado preguntas y respuestas anteriores en esta plataforma, pero ninguna responde a esta pregunta. Un profesor dijo que es posible tomar muestras por debajo de la tasa de Nyquist bajo ciertas condiciones. Me gustaría saber, primero, si es posible hacer esto, si es así, ¿cuándo?

En primer lugar, eliminemos el concepto erróneo de la tasa de Nyquist.

A las personas generalmente se les enseña que la frecuencia mínima de muestreo debe ser el doble de la frecuencia más alta en la señal. ¡Esto es completamente falso!

Lo que es cierto es que si tiene un espectro "completo", y por completo, quiero decir que usa completamente todas las frecuencias entre el borde inferior de su ancho de banda y el borde superior de su ancho de banda, entonces necesita tener la frecuencia de muestreo eso es al menos el doble del ancho de banda de la señal.

Entonces, en la imagen aquí, la frecuencia de muestreo debe ser de al menos 2 * (Fh-Fl) para obtener el espectro.

También debe tener en cuenta que, después de realizar el muestreo, toda la información sobre la frecuencia real se pierde en la señal muestreada. Aquí es donde entra en juego toda la historia sobre la frecuencia de Nyquist. Si la frecuencia de muestreo es el doble de la frecuencia más alta de la señal, entonces podemos asumir con seguridad (como a menudo estamos entrenados para hacerlo inconscientemente) que todas las frecuencias en la señal muestreada están entre cero y la mitad de la frecuencia de muestreo.
En realidad, el espectro de la señal muestreada es periódico alrededor de Fs / 2 y podemos usar esa periodicidad para lograr tasas de muestreo más bajas.
Echa un vistazo a la siguiente imagen:
El área entre 0 y Fs / 2 es la llamada primera zona de Nyquist. Esta es el área donde estamos haciendo el muestreo "tradicional". A continuación, observe el área entre Fs / 2 y Fs. Esta es la segunda zona de Nyquist. Si tenemos alguna señal en esta área, se muestreará su espectro y se invertirá, es decir, se invertirán las frecuencias altas y bajas. A continuación, tenemos la tercera zona de Nyquist, entre Fs y 3Fs / 2. Las señales aquí, cuando se muestreen, se verán como si vinieran de la primera zona y su espectro será normal. Lo mismo ocurre con todas las otras zonas, con la regla de que el espectro de zonas impares es normal y el espectro de zonas pares está invertido.

Ahora esto va en contra de las reglas "tradicionales" sobre aliasing, ya que el aliasing generalmente se enseña como un monstruo malvado que viene a comerse sus señales y que tiene que usar los filtros anti-aliasing de paso bajo para deshacerse de él. En la vida real, no es así como funcionan realmente las cosas. Los filtros anti-aliasing no pueden evitar el aliasing, solo lo reducen al nivel en el que ya no importa.
Lo que realmente queremos hacer es eliminar cualquier señal fuerte de las zonas de Nyquist que no sean de interés y dejar pasar las señales de la zona de Nyquist que nos interesan. Si estamos en la primera zona, entonces un filtro de paso bajo está bien, pero para todas las demás zonas, necesitamos un filtro de paso de banda que nos permita obtener las señales útiles de esa zona y eliminar la basura que no usamos No es necesario que provenga de las otras zonas.

Así que echemos un vistazo a este ejemplo:

aquí tenemos una señal en la tercera zona de Nyquist que está siendo dejada pasar por un filtro de paso de banda. Nuestro ADC solo necesitará tener una frecuencia de muestreo del doble del ancho de banda de la señal para reconstruirla, pero siempre debemos tener en cuenta que esta es realmente una señal de la tercera zona, cuando necesitamos calcular las frecuencias dentro de nuestro señal. Este procedimiento a menudo se llama muestreo de paso de banda o submuestreo.

Ahora, después de toda esta exposición, para responder a su pregunta cuando:
Bueno, echemos un vistazo a la radio, tal vez algo en el espectro de microondas, tal vez WiFi. Un canal WiFi típico de estilo antiguo podría tener 20 MHz de ancho de banda, pero la frecuencia de la portadora sería de alrededor de 2,4 GHz. Entonces, si tomamos nuestro enfoque ingenuo para muestrear la señal directamente, necesitaríamos un ADC de 5 GHz para ver nuestra señal, a pesar de que solo estamos interesados ​​en un espectro particular de 20 MHz. Un convertidor analógico a digital de 5 GHz es algo muy complicado y costoso y también requiere un diseño muy complicado y costoso. Por otro lado, un ADC de 40 MHz es algo que no es tan "mágico" como un ADC de 5 GHz.
Una cosa que debe tenerse en cuenta es que, aunque en teoría podríamos capturar la señal con un ADC de 40 MHz, necesitaríamos filtros anti-aliasing muy nítidos, por lo que en la práctica realmente no queremos ejecutar el muestreo frecuencia demasiado cerca del ancho de banda. Otra cosa que también se pasa por alto es que el circuito de un ADC de la vida real se comporta como un filtro por sí solo. Los efectos de filtrado de un ADC deben tenerse en cuenta al hacer un muestreo de paso de banda. Muy a menudo, hay ADC especiales con anchos de banda mucho más amplios que la frecuencia de muestreo que están diseñados específicamente teniendo en cuenta el muestreo de paso de banda.

Finalmente, está el otro lado de la historia, también llamado detección comprimida. No soy un experto en eso, y es algo que todavía es un poco nuevo, pero la idea básica es que si se cumplen ciertos supuestos (como que el espectro es escaso), podemos muestrear a frecuencias incluso inferiores al doble del ancho de banda de la señal

Por lo tanto, muchas personas, incluidos los profesores, están confundidos acerca de cuál es la tasa de Nyquist:

La frecuencia de Nyquist es la frecuencia de muestreo que necesita para muestrear una señal para evitar dañarla aliasing

Lo que eso significa es que para las señales de valor real y el muestreo de valor real, la frecuencia de muestreo debe ser más de dos veces el ancho de banda de la señal analógica.

Eso significa que con una frecuencia de muestreo de 6 kHz, puede obtener una representación del 100% de cualquier banda de 3 kHz de ancho.

Lo hace , no significa que las necesidades de frecuencia de muestreo a ser el doble de la frecuencia más alta de la señal. Si sus 3 kHz, por ejemplo, son la banda entre 9 kHz y 12 kHz, no tiene que muestrear a 2 · 12 kHz = 24 kHz; 6 kHz es totalmente suficiente para representar sin ambigüedad la señal digitalmente. Aún necesitaría saber que sus 3 kHz se centraron alrededor de 10.5 kHz, si luego desea relacionarlo con otras señales, pero por lo general, eso no importa.

Llamamos a esta técnica submuestreo , y funciona de maravilla, y es una técnica 100% estándar con muchas aplicaciones técnicas. Todo lo que necesita estar seguro es que todo lo que ve su ADC (convertidor analógico a digital) está limitado a la mitad de su frecuencia de muestreo, eso significa, en el ejemplo mencionado anteriormente, que debe estar seguro de que no hay señal por debajo de 9 kHz y no señal por encima de 12 kHz.

banda base compleja

Observe que esto es cierto solo para el muestreo con valores reales. Si usó cosas como demoduladores IQ (también conocidos como mezcladores de conversión directa , demoduladores de cuadratura ) para obtener una banda base compleja y equivalente , obtendrá dos flujos de muestras sincrónicas. En ese caso, el factor de 2 desaparece. Este es un aspecto muy importante para la radio definida por software .

estructuras polifásicas

Si está en las últimas partes de un curso de DSP, su profesor podría haber insinuado el hecho de que puede implementar cosas como muestreadores racionales, donde normalmente tendría que aumentar la muestra por un factor de M, luego filtrar para borrar todas las imágenes (el filtro funciona a la velocidad de entrada · M), luego filtre para evitar todos los alias (el filtro funciona a la velocidad de entrada · M) antes de reducir la muestra por N, con un solo filtro que funciona efectivamente a 1 / N de la velocidad de entrada, que en realidad es sub -Muestreo de esquista. Pero ese sería básicamente uno de los aspectos más destacados de una conferencia de sistemas polifásicos / multirrata, y dudo que lo haya publicado en un curso para principiantes, es demasiado confuso.

Nunca. Pero debe asegurarse de comprender exactamente cuál es realmente la "tasa de Nyquist".

Nyquist declaró que puede reconstruir la señal siempre que se muestree a una velocidad que sea más del doble del ancho de banda de la señal. Ese ancho de banda puede o no comenzar en DC, pero muchas fuentes sobre este tema suponen que siempre lo hace, y que el componente de frecuencia más alta de la señal determina la velocidad de Nyquist.

Por ejemplo, si tiene una señal de transmisión AM a 1 MHz que está limitada a ± 10 kHz, la velocidad de Nyquist para ella es 2 × 20 kHz = 40 kHz, no 2 × 1.01 MHz = 2.02 MHz.

Un profesor dijo que es posible tomar muestras por debajo de la tasa de Nyquist bajo ciertas condiciones.

Si todo lo que le interesa es calcular el valor RMS de una forma de onda, entonces puede muestrear a continuación nyquist:

La forma de onda azul también es una onda sinusoidal que tiene el mismo valor RMS que el original. Lo que debe evitar es esto: -

Se toman exactamente dos muestras cada ciclo y es imposible saber si la señal con alias era de hecho la forma de onda roja o la forma de onda verde.

El criterio nyquist le indica con qué frecuencia necesita muestrear para reconstruir una señal que tiene una banda limitada. Sin embargo, no hay señales físicas limitadas en la banda, esto es solo una idealización. Otros esquemas funcionarán para muestrear otras señales idealizadas. Al proporcionarle información a priori sobre una señal (que tiene una banda limitada), Nyquist le dice cómo reconstruir la señal completa a partir de unas pocas muestras. Si le doy información a priori diferente, puede hacerlo mejor que nyquist. Aquí hay un ejemplo: mis señales idealizadas son lineales por piezas. Uno solo necesita muestrear estas señales en sus puntos de inflexión: muchas menos muestras de las que necesita para señales de banda limitada. Para reconstruir toda la señal, dibuje líneas rectas entre los puntos de muestra. Puede llamar a esto el criterio "Linequist". :)

Se puede muestrear una señal periódica utilizando una frecuencia de muestreo sub-Nyquist. Esto está bien explotado en los osciloscopios. Allí se guarda una muestra para cada repetición de señal, pero en una posición diferente del período. ¿Necesita 512 muestras? entonces se necesitan 512 periones completos de la señal.

La exactitud:

Es fácil ver que una onda sinusoidal estacionaria se puede capturar de esta manera. Pero esas 512 muestras deben cubrir la señal. Eso es cierto si los armónicos 256 y superiores pueden considerarse como ceros.

Esto a veces se hace intencionalmente, por ejemplo, en un osciloscopio de muestreo (no es lo mismo que un DSO, aunque algunos DSO también son de muestreo, pero un osciloscopio de muestreo puede ser un dispositivo completamente analógico y se han construido desde la década de 1950), para tratar con periódicos señales que son demasiado altas en frecuencia para ser económicas para amplificar o tratar con circuitos lineales; no existen muchos CRT de osciloscopio (ed) que puedan manejar una señal de 1 GHz sin procesar (¡algunos existen!), sin embargo, 1 GHz fue fácil de manejar con submuestreo incluso con tecnología de la década de 1960. Al final, todo el sistema se comporta de manera similar (no idéntica) a un receptor heterodino. Si bien no hay LO de alta frecuencia de onda continua, todavía hay un componente de muy alta frecuencia oculto (y utilizado) en el reloj de muestreo utilizado:

Obviamente, una señal no periódica no puede examinarse de esa manera, y una señal con componentes de frecuencia mucho más baja puede ser mal representada y / o malinterpretada.

Creo que lo que dijo [rackandboneman] es consistente con la intención del profesor. La 'cierta condición' sería que la señal original debería ser periódica.

Aquí hay un código para mostrar cómo reconstruir la señal original de la señal submuestreada. La señal original necesita un período de muestreo de 1/100 para reconstruir su patrón único (aunque su frecuencia fundamental es 8/100). Al muestrear con un período de muestreo de 1.5 / 100 segundos, el patrón de la señal original se reconstruye casi perfectamente con un período de muestreo de reconstrucción de 0.5 / 100. (En breve, el período de muestreo de 0.5 / 100 se realiza a partir del período de muestreo de 1.5 / 100).

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Si se muestrea una señal a la velocidad S, cualquier contenido con frecuencia f será indistinguible de cualquier otro contenido con frecuencia NS + f o NS-f para algún número entero N.

Si una frecuencia de muestreo dada es adecuada dependerá de si existen dos frecuencias cuyo contenido necesitaría distinguirse, pero no puede.

Si a uno solo le preocupan, por ejemplo, las señales en el rango de 700-800Hz, la entrada estará desprovista de contenido por debajo de 300Hz o por encima de 1200, y la presencia de otras señales no causará recorte, una frecuencia de muestreo de 1000Hz sería adecuada sin ningún previo filtrado, a pesar de la presencia de contenido cuyo ancho de banda total es de 900Hz. El contenido en el rango de 300Hz-700Hz sería indistinguible del contenido en el rango de 800Hz-1200Hz, pero si a uno no le importa ese contenido, eso no importaría.