Escalado de salida FFT por número de puntos en FFT

Al calcular la FFT de punto N de alguna señal, el resultado siempre se divide por N. Puedo entender por qué este es el caso de una suma sobre los N puntos, pero a menudo el resultado de la operación FFT es un vector de longitud N que un resumen ¿Por qué, entonces, el vector de longitud N que es la salida de la FFT se escala por el número de puntos (N) utilizados para calcular la FFT? Gracias.

La diferencia es que la transformación digital de Fourier (y también FFT) proporciona un vector de tamaño N (o M en algunos casos) que contiene sumas de N muestras.

Entonces, básicamente, cada punto de la transformación FFT es el resultado de una suma durante un cierto intervalo de tiempo de las muestras basadas en el tiempo. Es por eso que divides por N.

Puede considerarlo de esta manera: toma un intervalo de N muestras de su señal; luego, básicamente suma todas las muestras N veces, pero cada vez las multiplica para una función diferente, que permite extraer la información para una frecuencia específica (o rango de frecuencia, para ser más precisos).

Al final, en resumen, en lugar de tener N muestras, cada una asociada a un intervalo de tiempo, tiene N muestras (como antes) pero cada una de ellas está relacionada con el intervalo completo y describe el componente de la señal para un rango de frecuencia específico .

Solo para completar, hay cuatro casos de transformada de Fourier:

1. Transformada continua de Fourier, para señales continuas en el tiempo, en un intervalo finito, que proporciona una respuesta de frecuencia continua;

2. Serie de Fourier, que toma una señal continua y periódica y da la serie discreta de armónicos, de modo que con componentes discretos de frecuencia;

3. Transformada de Fourier discreta en el tiempo, el recíproco de (2), en el cual, a partir de una señal discreta en el tiempo, se realiza una función periódica en el dominio de la frecuencia;

4. Transformada digital de Fourier, que toma una señal discreta y periódica para dar un espectro discreto y periódico.

Entonces, transformar una señal periódica da un espectro discreto y viceversa.

El factor de escala 1 / N es casi arbitrario. Una FFT sin escala seguida de una IFFT sin escala que usa exactamente los mismos factores de twiddle exponenciales complejos multiplica el vector de entrada por el escalador N. A fin de recuperar la forma de onda original después de un viaje de ida y vuelta IFFT (FFT () haciéndolos funciones inversas), algunos pares de implementación FFT / IFFT escalan el FFT en 1 / N, algunos escalan el IFFT en 1 / N, algunos escalan ambos en 1 / sqrt (N).