Prueba de que cada circuito con diodos tiene exactamente una solución

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Considere un circuito electrónico que consta de componentes lineales más una serie de diodos ideales. Por "ideal" quiero decir que pueden estar sesgados hacia adelante (es decir, e ) o estar sesgados hacia atrás (es decir, e ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Estos circuitos se pueden calcular declarando arbitrariamente cada diodo polarizado hacia adelante o polarizado hacia atrás, y configurando para cada diodo polarizado hacia adelante e para cada diodo polarizado hacia atrás. Después de calcular el circuito lineal resultante, tenemos que verificar si en cada diodo polarizado hacia delante y en cada diodo polarizado hacia atrás se cumple. Si es así, esa es nuestra solución. Si no, tenemos que probar otro conjunto de opciones para los diodos. Entonces, para diodos, podemos calcular el circuito calculando como máximo $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$ circuitos lineales (generalmente mucho menos).

¿Por qué funciona esto? En otras palabras, ¿por qué siempre hay una opción que conduce a una solución válida y (más interesante) por qué nunca hay dos opciones que conduzcan a soluciones válidas?

Debería ser posible demostrar eso en el mismo nivel de rigor con el que, por ejemplo, el teorema de Thevenin se prueba en los libros de texto.

Un enlace a una prueba en la literatura también sería una respuesta aceptable.

circuit-analysis diodes

— Stefan
fuente

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Porque un circuito físico puede estar en un solo estado a la vez solamente. No es mecánica cuántica ...

— Eugene Sh.

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@EugeneSh .: Eso es cierto, pero eso no es lo que pregunta el OP. Algunos circuitos pueden estar en uno cualquiera de varios estados dados condiciones externas idénticas. La pregunta es demostrar que solo hay un estado para la clase de circuitos que describe el OP.

— Dave Tweed

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@Eugene Sh .: por ejemplo, un flip flop (o cualquier circuito biestable) es un contraejemplo de un circuito que tiene más de una solución. Si no hay una "misma condición inicial" dada, debe asumir cualquier condición y observar qué soluciones estables están disponibles y luego descubre que algunos circuitos tienen solo uno sin importar las condiciones iniciales (por ejemplo, circuitos lineales) y otros tienen más de uno .

— Cuajada

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@EugeneSh. El punto aquí es demostrar que el comportamiento de estado estable del circuito de diodos no depende de las condiciones iniciales, solo hay una solución estable. A diferencia de un flip-flop, que tiene múltiples soluciones estables y puede usarse como un elemento de memoria (las "condiciones iniciales" son una escritura de memoria).

— Evan

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@EugeneSh. El punto no es que un circuito no lineal pueda estar en un estado bien definido dadas las condiciones iniciales, sino todo lo contrario. El teorema al que se refiere el OP garantiza que solo hay una solución, independientemente de las condiciones iniciales , lo cual es bastante peculiar para un circuito no lineal.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

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Supongo que esto es para un problema artificial en el que hay un circuito con pasivos conocidos y algunos I y V dados y puntos marcados para diodos de dirección desconocida. Mi respuesta es:

Esperemos que los creadores de los problemas se hayan limitado a instancias donde sus suposiciones lleven a sus conclusiones.

Podría ser teóricamente insoluble haciendo que un diodo sea extraño; considere conectar a tierra ambos lados de un diodo. Podría haber casos no triviales usando terrenos virtuales u otros voltajes iguales que podrían ser difíciles de detectar.

Seguramente podrían existir circuitos válidos que solo difieren en la dirección de un diodo para cualquier valor de "circuito válido" que incluya diodos. Considere la posibilidad de modelar interruptores usando esas reglas de diodos ideales, ¿cómo puede decidir si un interruptor debía estar encendido o apagado? Esperemos que las corrientes y tensiones dadas den suficientes pistas. Y espero que no te hayan dado pistas contradictorias.

Esto cambia la pregunta a "¿Cómo puede saber si una instancia tiene suficiente información para ser única?" Recuerdo que la respuesta es algo así como que necesitas un dado independiente para cada desconocido independiente, pero estoy seguro de que no podría probarlo ni presentar una prueba general para la independencia de ninguno de los dos.

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Para diodos ideales, puede haber múltiples soluciones.

Contraejemplo trivial: tome cualquier circuito que contenga diodos ideales que haya resuelto. Ahora reemplace uno de los diodos ideales con, si conducen hacia adelante, un par de diodos conectados en paralelo, o si tienen polarización inversa, un par en serie, manteniendo la orientación en cualquier caso. ¿Cómo se resuelve la distribución de corriente o voltaje entre los dos? No puede, el modelo de diodo ideal conduce a un casco convexo de soluciones igualmente válidas.

— Ben Voigt
fuente

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Realmente estás estirando la definición de "circuito" aquí. Dos diodos ideales con polarización inversa en serie crean un nodo aislado entre ellos, y dos diodos ideales con polarización directa en paralelo crean un bucle aislado. Esto no es útil en el contexto de la pregunta.

— Dave Tweed

@DaveTweed: ¿Cómo es la modificación posterior del circuito menos que un circuito antes de que se realizara el cambio?

— Ben Voigt

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No lo es, pero su modificación no crea una distinción útil. Si dos diodos ideales se unen a un par de nodos de circuito, lo único que importa es el voltaje total o la corriente total entre esos nodos; La distribución del voltaje o corriente entre los diodos individualmente no tiene ninguna consecuencia. Y arrojar un término irrelevante como "casco convexo" es puro tecnobabble.

— Dave Tweed

Esto es muy útil, ya que muestra que no hay esperanza de una prueba de singularidad sin más suposiciones. Por supuesto, la siguiente pregunta es si es suficiente excluir dos diodos en una fila y dos diodos en paralelo, o si hay contraejemplos de mayor complejidad.

— Stefan

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No tengo una prueba rigurosa, pero la idea general es que mientras los componentes de un circuito tengan curvas VI que son funciones de un solo valor (esto incluye diodos y componentes lineales), solo puede haber una solución para El circuito en general.

— Dave Tweed
fuente

Tipo de inducción en una superposición. El caso base sería un circuito de un solo diodo, que es fácil de mostrar con una solución única. Luego, el paso de inducción para mostrar la combinación de los circuitos base tiene una solución única.

— Eugene Sh.

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Sin embargo, el diodo ideal discutido en la ecuación no tiene una curva IV de un solo valor.

— Ben Voigt

@BenVoigt: cuando se trata de componentes ideales y los ceros e infinitos asociados, debe tener cuidado. El concepto de límites es crucial: la resistencia directa es infinitesimal pero no cero, y la conductancia inversa también es infinitesimal pero no cero. Cuando se considera de esta manera, la ecuación es de un solo valor.

— Dave Tweed

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Creo que es bastante simple:

Puede tratar los diodos ideales con polarización directa como cortos y los diodos ideales con polarización inversa como circuitos abiertos. En cualquier caso, obtienes circuitos con solo componentes lineales (porque todos los diodos se resuelven en circuitos abiertos o cortos) y se sabe que esos circuitos lineales tienen exactamente una solución.

— Cuajada
fuente

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Pero cada uno de esos circuitos tendrá una solución: ¿cómo demuestra que solo uno es autoconsistente?

— Ben Voigt

@Ben Voigt: ok, entiendo. Eso aún no está probado (y probablemente sea el trabajo principal)

— Cuajada

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De la entrada de líneas de carga de Wikipedia

Solo hay una solución única debido a la naturaleza del problema. Esto se ilustra mejor gráficamente, en forma de líneas de carga. El diodo tiene una ecuación que describe la relación entre la corriente a través de él (eje y) y el voltaje a través de él (eje x). Aquí, el eje x es el voltaje a través del diodo.

Mire lo que le sucede a la corriente a través de la resistencia a medida que cambia el voltaje a través del diodo. Si el voltaje es Vdd a través del diodo, entonces no habría caída de voltaje a través de la resistencia, ya que el voltaje a través de la resistencia y el diodo debe sumar Vdd), y por lo tanto habría cero corriente a través de la resistencia (Ley de Ohm). De manera similar, si hubiera una caída de voltaje cero a través del diodo, habría Vdd a través de la resistencia, y la corriente a través de la resistencia sería Vdd / R.

Ahora, sabemos que son situaciones poco realistas, ya que la corriente en el diodo y la resistencia debe ser igual. Dada la ecuación para la resistencia (lineal) y la ecuación para el diodo (no lineal, pero de aumento monotónico), podemos ver en el gráfico que esto solo puede suceder en un punto único, la intersección de las dos curvas.

Por lo tanto, la solución simultánea de tres ecuaciones (la resistencia, el diodo y el hecho de que las dos corrientes deben ser iguales) dan uso de una solución única.

Este método funcionará para todos los elementos del circuito.

Es un poco diferente para los diodos de corriente inversa, ya que la corriente de resistencia va en sentido contrario, y se necesita agregar un cuadrante al gráfico.

— Scott Seidman
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La curva IV de diodo que muestra no es la curva IV de un diodo ideal .

— Cuajada

@Curd: Dada la falta de factores de escala, está lo suficientemente cerca. Vea mi comentario a Ben Voigt.

— Dave Tweed

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Esta es una buena explicación para el caso con un diodo, pero mi problema real es el caso con varios diodos.

— Stefan

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La 'prueba' de esto solo funcionaría para ciertos circuitos. Si tiene alguna ganancia y los únicos elementos no lineales son los diodos, puede tener múltiples estados posibles. Por ejemplo (puede no ser el ejemplo más simple posible).

Este circuito funcionará con un amplificador operacional ideal perfectamente lineal y la salida nunca se dispara hasta el infinito o se satura, sin embargo, con 0 V puede ser de aproximadamente +6 o aproximadamente -6 en la salida, con un par u otro de diodos conductores . También funcionará con diodos 'casi ideales' que tienen una caída hacia adelante cuando están encendidos y no otras no ideales.

esquemático

(y, por supuesto, los diodos de túnel son un caso especial con su curva IV no monotónica).

La prueba probablemente tendría que requerir solo elementos pasivos como resistencias (sin fuentes de corriente o voltaje dependientes). O quizás solo con diodos ideales con 0V Vf.

— Spehro Pefhany
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¿No está claro que la clase de circuitos de los que estamos hablando aquí excluye cualquier cosa con ganancia, como cualquier dispositivo de 3 terminales o dispositivos de resistencia negativa?

— Dave Tweed

@DaveTweed No, no lo es. La pregunta original dice 'componentes lineales' que no son lo suficientemente restrictivos, al menos para diodos con caída directa. Las preguntas típicas de los libros de texto solo tienen fuentes y resistencias de voltaje y corriente independientes y diodos ideales o algo ideales. Los circuitos reales y útiles generalmente involucran amplificadores operacionales, IME.

— Spehro Pefhany

Me refería a lo que usted describe como preguntas típicas de libros de texto.

— Stefan

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Tienes razón, la pregunta debería decir "pasivo" si significa excluir elementos activos pero lineales.

— Ben Voigt

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Esta no es una prueba completa, pero tal vez lo llevará por buen camino:

Si hay múltiples soluciones, hay al menos un diodo que puede ser polarizado hacia adelante o hacia atrás. Considere uno de esos diodos. En una solución dada, es parcial o inversa. Definamos los voltajes en sus terminales, Va y Vb, de modo que si está polarizado hacia adelante, Va> = Vb, y si está polarizado inversamente, Vb> = Va. En el caso de polarización directa o inversa, el resto del circuito (RotC) produce estos voltajes en los terminales del diodo.

Como usted indicó que el circuito consta de elementos lineales y diodos, el RotC es una red puramente lineal o incluye más diodos.

Si el RotC es una red puramente lineal, solo tiene una solución, y la única solución a las restricciones Va> = Vb y Vb> = Va es que Va = Vb.

Si el RotC incluye más diodos con múltiples soluciones posibles, considere el siguiente diodo. Una vez más, está conectado a una red lineal o una red con más diodos con múltiples soluciones posibles.

Si suponemos que hay un número finito de diodos en el circuito ...

— PProteus
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