¿Por qué la velocidad de datos de Nyquist es menor que la velocidad de datos de Shannon?

En el libro Computer Networks , el autor habla sobre la velocidad máxima de datos de un canal. Él presenta la fórmula Nyquist:

C = 2H log V (bits / seg)$_2$

Y da un ejemplo para una línea telefónica:

un canal silencioso de 3 kHz no puede transmitir señales binarias (es decir, de dos niveles) a una velocidad superior a 6000 bps.

Luego explica la ecuación de Shannon:

C = H log (1 + S / N) (bits / seg)$_2$

Y da (de nuevo) un ejemplo para una línea telefónica:

un canal de ancho de banda de 3000 Hz con una relación señal / ruido térmico de 30 dB (parámetros típicos de la parte analógica del sistema telefónico) nunca puede transmitir mucho más de 30,000 bps

No entiendo por qué la tasa de Nyquist es mucho más baja que la tasa de Shannon, ya que la tasa de Shannon tiene en cuenta el ruido. Supongo que no representan la misma velocidad de datos, pero el libro no lo explica.

Para comprender esto, primero debe comprender que los bits transmitidos no tienen que ser puramente binarios, como se muestra en el ejemplo de la capacidad de Nyquist. Digamos que tiene una señal que oscila entre 0 y 1V. Puede asignar 0v a [00] .33v a [01] .66v a [10] y 1v a [11]. Entonces, para tener esto en cuenta en la fórmula de Nyquist, cambiaría 'V' de 2 niveles discretos a 4 niveles discretos, cambiando así su capacidad de 6000 a 12000. Esto podría hacerse para cualquier número de valores discretos.

Sin embargo, hay un problema con la fórmula de Nyquist. Como no tiene en cuenta el ruido, no hay forma de saber cuántos valores discretos son posibles. Entonces Shannon apareció y encontró un método para esencialmente colocar un máximo teórico en el número de niveles discretos que puede leer sin errores.

Entonces, en su ejemplo de poder obtener 30,000 bps, tendría que tener 32 valores discretos que se puedan leer para significar diferentes símbolos.

La velocidad de datos de Nyquist (no la frecuencia de Nyquist) es la velocidad máxima para una señal binaria (2 niveles discretos).

La velocidad de Shannon tiene en cuenta los niveles de señal, ya que la velocidad de datos máxima no es solo una función del ancho de banda: si se puede usar un número infinito de niveles de señal, la velocidad de datos puede ser infinita independientemente del ancho de banda.
Dado que el incremento de nivel más pequeño posible dependería de la relación señal / ruido, es por eso que se incluye en la tasa de Shannon. Entonces, para el ejemplo anterior, se muestra para un ancho de banda de 3000kHz y una SNR de 30dB, puede transmitir niveles que representan 5 bits de información cada uno.

La relación de potencia de 30dB = 1000 a 1 se puede volver a convertir en voltaje por sqrt (1000) = ~ 32 niveles distinguibles (5 bits). Si aplicamos esto al teorema más simple de Hartley, obtenemos 2B * log2 (32) = 30kHz para B = 3Khz. Entonces, 5 bits de información multiplicados por la velocidad de datos de Nyquist de 2B (= 6000 en este ejemplo) es igual a 30,000 bits / seg.

Uno describe qué tan rápido muestrea, el otro cuántos datos puede transferir. La frecuencia de muestreo mínima requerida es solo una función de la frecuencia más alta que desea representar correctamente. Eso es independiente de la cantidad de ruido en el canal. Sin embargo, con menos ruido puede transferir más información por muestra. Dicho de otra manera, Nyquist dice cuál debe ser la frecuencia de muestreo y Shannon dice cuántos bits obtienes por muestra.