Calcule las resistencias de todas las conexiones posibles dentro de una caja negra de N-terminales en función de las mediciones entre terminales

Aunque parece que este no es el SE correcto para este hilo, ya que se trata de crear un algoritmo, el problema es en realidad encontrar un enfoque sistemático para la simplificación de circuitos resistivos arbitrariamente grandes de un patrón particular.

En el trabajo, tenemos varios pantalones cortos dentro de un equipo, pero no sabemos dónde. El equipo es una caja negra que no se puede abrir. Tomé mi multímetro y llené una matriz de resistencias en cada combinación de terminales disponibles. Algo como:

Como sabe, estas medidas no tienen sentido debido al acoplamiento cruzado con otros terminales. Quiero saber cómo se conectan las redes entre sí; en otras palabras, quiero calcular los valores de las resistencias que se muestran en el siguiente circuito equivalente (ejemplo para N = 4).

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

\sum_{i = 1}^{N - 1} (i - 1)

$\sum_{i=1}^{N-1}(i-1)$

\sum_{i = 1}^{N - 1} (i - 1)

$\sum_{i=1}^{N-1}(i-1)$

Para cada medición realizada Rij, donde i y j son 0 ... N.
- Calcule la fórmula de la resistencia equivalente del circuito entre los terminales i y j en función de las resistencias "X". Simplificar.
$(\begin{matrix} R_{1, 2} \\ R_{1, 3} \\ . . . \\ R_{N - 1, N} \end{matrix}) = [X] (\begin{matrix} X_{1, 2} \\ X_{1, 3} \\ . . . \\ X_{N - 1, N} \end{matrix})$ $\left( \begin{array}{c} R_{1,2}\\ R_{1,3}\\ ...\\ R_{N-1,N}\\ \end{array} \right)= \mathbf{[X]}\left( \begin{array}{c} X_{1,2}\\ X_{1,3}\\ ...\\ X_{N-1,N}\\ \end{array} \right)$
$(\begin{matrix} X_{1, 2} \\ X_{1, 3} \\ . . . \\ X_{N - 1, N} \end{matrix}) = {[X]}^{- 1} (\begin{matrix} R_{1, 2} \\ R_{1, 3} \\ . . . \\ R_{N - 1, N} \end{matrix})$ $\left( \begin{array}{c} X_{1,2}\\ X_{1,3}\\ ...\\ X_{N-1,N}\\ \end{array} \right)=\mathbf{[X]}^{-1}\left( \begin{array}{c} R_{1,2}\\ R_{1,3}\\ ...\\ R_{N-1,N}\\ \end{array} \right)$

Los pasos 2 y 3 son fáciles, pero tengo dificultades para encontrar un algoritmo para tratar el cálculo de la resistencia equivalente automáticamente. Puedo hacer hasta 4 terminales fácilmente (hay una transformación Star / Delta para 4), pero mi sistema tiene 7 terminales y el método manual ya no es lo suficientemente bueno, y lo he probado.

Las leyes de Kirchoff se sienten más adecuadas para la generación automática de las ecuaciones, pero aunque creo que puedo generar las ecuaciones de los nodos, no tengo una forma sistemática de generar las ecuaciones de bucle.

Es un problema muy interesante y emocionante para el cual la solución será útil para muchas personas en mi opinión. ¿Podría alguien ayudarme a automatizar el cálculo de la resistencia equivalente (o resolverlo para N = 7, después de todo, también funcionaría para N <= 7)?

— Señor Mystère
fuente

Parece que su formulación ya está configurada para N terminales, a menos que me falte algo. Si ese es el caso y una solución numérica es aceptable, cualquier solucionador de matriz estándar debería funcionar, por ejemplo, descomposición de LU, eliminación de Gauss, etc.

— helloworld922

Si tuviera la matriz X poblada, no tendría ningún problema para resolverlo con Matlab. Es el paso de simplificación del circuito para el que estoy luchando por encontrar un algoritmo.

— Señor Mystère el

¡Puedo ver que se vuelve realmente complicado después de 3 líneas!

— Andy alias

De hecho, desafortunadamente ...

— Mister Mystère

Este artículo puede ser útil si tiene acceso a IEEE ( ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=1083633 ). Sin embargo, parece que primero debe descubrir cómo transformar la red a un equivalente plano, lo que indican que se hace para el caso de un 7-gon completo en esta publicación que no puedo encontrar en línea: worldcat.org/ title / ...

— Justin

$N = 3$ $R_{12}$

R_{12} = X_{12} | | (X_{13} + X_{23}) = \frac{X_{12} (X_{13} + X_{23})}{X_{12} + X_{23} + X_{13}}

$R_{12} = X_{12} || (X_{13} + X_{23}) = \frac{X_{12} (X_{13} + X_{23})}{X_{12} + X_{23} + X_{13}}$

R_{i j} = a X_{12} + b X_{13} + c X_{23}

$R_{ij} = a X_{12} + b X_{13} + c X_{23}$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

Puede haber un método que omita esta multiplicación matricial (algo más cercano a las transformaciones de malla estelar), pero no lo veo ...

— Greg d'Eon
fuente

Gracias, es muy bueno conocer una demostración de que algo no es posible antes de perder demasiado tiempo explorándolo. He creado otro hilo (vinculado) que ha llevado a una primera versión de la herramienta basada en un método diferente.

— Señor Mystère

Al reelaborar el circuito en un plano plano y conectar las resistencias en orden, parece que N3 se bloquea desde N5 sin pasar a 3D. Por lo tanto, la teoría de malla estándar no se aplica porque las mallas no son planas después de N = 4. Posiblemente hay otra metodología. Palabras clave: malla de circuito no plano

Traté de poner esto en un "comentario" pero soy una nube ... así que no está permitido.

— Mike_Lincoln
fuente

Tal vez no entiendo "cada red que tengo tiene una resistencia a cada red i + 1"

— Mike_Lincoln