¿Cuál es exactamente el papel de la retención de orden cero en un sistema híbrido analógico / digital de datos muestreados?

Lo admito, estoy haciendo esta pregunta retóricamente. Tengo curiosidad por saber qué respuestas saldrán de esto.

Si elige responder a esto, asegúrese de comprender bien el teorema de muestreo de Shannon-Nyquist. Particularmente reconstrucción. También tenga cuidado con las "trampas" en los libros de texto. La noción de ingeniería de la función de impulso dirac delta es suficiente. No necesita preocuparse por todas las cosas de "distribución", el impulso dirac como una función delta naciente es lo suficientemente bueno:

$$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$$

dónde

$$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

Los problemas relacionados con la precisión, el ancho de bits de las palabras de muestra y la cuantización realizada en la conversión no son relevantes para esta pregunta. Pero la escala de entrada a salida es relevante.

Eventualmente escribiré mi propia respuesta a menos que alguien más presente una respuesta precisa y pedagógicamente útil. Incluso podría poner una recompensa por esto (también podría gastar la pequeña repetición que tengo).

Tienen en él.

Preparar

Consideramos un sistema con una señal de entrada $x(t)$ , y para mayor claridad nos referimos a los valores de $x(t)$ como voltajes, cuando sea necesario. Nuestro período de la muestra es $T$ , y la frecuencia de muestreo correspondiente es $f_s \triangleq 1/T$ .

Para la transformada de Fourier, elegimos las convenciones

$$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$$ dando la transformada inversa de Fourier $$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$$ Tenga en cuenta que con estas convenciones,$X$es una función de la variable de Laplace$s = i \omega = i 2 \pi f$.

Muestreo y reconstrucción ideales.

Comencemos por el muestreo ideal: de acuerdo con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , dada una señal $x(t)$ que está limitada a $f < \frac{1}{2} f_s$,es decir ,

$$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$$ entonces la señal original se puede perfectamente reconstruido a partir de lasmuestras $x[n] \triangleq x(n T)$, donde$n\in \mathbb{Z}$. En otras palabras, dada la condición en el ancho de banda de la señal (llamadocriterio de Nyquist), es suficiente conocer sus valores instantáneos en puntos discretos equidistantes en el tiempo.

El teorema de muestreo también proporciona un método explícito para llevar a cabo la reconstrucción. Justifiquemos esto de una manera que será útil en lo que sigue: estimamos la transformada de Fourier $X(i 2 \pi f)$ de una señal $x(t)$ por su suma de Riemann con el paso $T$ :

$$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$$ donde$\Delta t = T$. Reescribamos esto como una integral, para cuantificar el error que estamos cometiendo: $$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$$ donde utilizamos elteorema de convoluciónen el producto de$x(t)$y lafunción de muestreo $\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$, el hecho de que la transformada de Fourier de la función de muestreo es$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$, and carried out the integral over the delta functions.

Note that the left hand side is exactly $T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$, where $X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ is the discrete time Fourier transform of the corresponding sampled signal $x[n] \triangleq x(n T)$, with $f T$ the dimensionless discrete time frequency.

Aquí vemos la razón esencial detrás del criterio de Nyquist: es exactamente lo que se requiere para garantizar que los términos de la suma no se superpongan. Con el criterio de Nyquist, la suma anterior se reduce a la extensión periódica del espectro desde el intervalo a toda la línea real.$[-f_s/2, f_s/2]$

Dado que el DTFT en tiene la misma transformada de Fourier en el intervalo [ - f s / 2 , f s / 2 ] que nuestra señal original, simplemente podemos multiplicarlo por la función rectangular r e c t ( f / f s ) y recuperar la señal original. A través del teorema de convolución , esto equivale a unir el peine de Dirac con la transformada de Fourier de la función rectangular, que en nuestras convenciones es F ( r e c t ( $\eqref{discreteft}$$[-f_s/2, f_s/2]$$\mathrm{rect}(f/f_s)$ donde lafunción sinc normalizadaes s i n c ( x ) ≜ sin ( π x

$$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$$ La circunvolución simplemente reemplaza cada delta de Dirac en el peine de Dirac con una función sinc desplazada a la posición del delta, dando x ( t ) = ∞ ∑ n = - ∞ x [ n ] s i n c ( t / T - n ) . Esta es lafórmula de interpolación de Whittaker-Shannon. $$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ $$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$$

Muestreo no ideal

Para traducir la teoría anterior al mundo real, la parte más difícil es garantizar la limitación de banda, que debe hacerse antes del muestreo. A los fines de esta respuesta, asumimos que esto se ha hecho. La tarea restante es tomar muestras de los valores instantáneos de la señal. Dado que un ADC real necesitará una cantidad de tiempo finita para formar la aproximación a la muestra, la implementación habitual almacenará el valor de la señal en un circuito de muestreo y retención, a partir del cual se forma la aproximación digital.

Aunque esto se parece mucho a una retención de orden cero, es un proceso distinto: el valor obtenido de la muestra y retención es, de hecho, exactamente el valor instantáneo de la señal, hasta la aproximación de que la señal permanece constante durante Duración necesaria para cargar el condensador que contiene el valor de la muestra. Esto generalmente se logra bien con los sistemas del mundo real.

Por lo tanto, podemos decir que un ADC del mundo real, ignorando el problema de la limitación de banda, es una muy buena aproximación al caso del muestreo ideal, y específicamente la "escalera" proveniente del muestreo y retención no causa ningún error en el muestreo por sí mismo.

Reconstrucción no ideal

Para la reconstrucción, el objetivo es encontrar un circuito electrónico que cumpla con la suma de sincs que aparece en . Dado que el sinc tiene una extensión infinita en el tiempo, está bastante claro que esto no puede realizarse exactamente. Además, formar tal suma de señales incluso a una aproximación razonable requeriría múltiples subcircuitos, y rápidamente se volvería muy complejo. Por lo tanto, generalmente se usa una aproximación mucho más simple: en cada instante de muestreo, se emite un voltaje correspondiente al valor de la muestra, y se mantiene constante hasta el siguiente instante de muestreo (aunque vea la modulación Delta-sigma para ver un ejemplo de un método alternativo). Esta es la retención de orden cero , y corresponde a reemplazar el sinc que usamos anteriormente con la función de rectángulo 1 $\eqref{sumofsinc}$ . Evaluación de la convolución ( 1 / T r e c t ( t / T - 1 / 2 ) ) * ( ∞ sigma n = - ∞ T x [ n ] δ ( t - n T ) )$1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$

$$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$$ usando la propiedad definitoria de la función delta, vemos que esto efectivamente da como resultado la clásica forma de onda de escalera de tiempo continuo. El factor de ingresa para cancelar la T introducida en (1) . Que tal factor sea necesario también queda claro por el hecho de que las unidades de una respuesta de impulso son 1 / tiempo.$1/T$$T$$\eqref{discreteft}$

El cambio por es simplemente para garantizar la causalidad . Esto solo equivale a un desplazamiento de la salida de 1/2 muestra en relación con el uso de 1 / T r e c t ( 1 / T ) (lo que puede tener consecuencias en sistemas en tiempo real o cuando se necesita una sincronización muy precisa a eventos externos) , que ignoraremos en lo que sigue.$-1/2 T$$1/T \mathrm{rect}(1/T)$

En comparación con , hemos reemplazado la función rectangular en el dominio de la frecuencia, que dejó la banda base completamente intacta y eliminó todas las copias de mayor frecuencia del espectro, llamadas imágenes , con la transformada de Fourier de la función 1 / T r e c t ( t / T ) . Esto es, por supuesto, s i n c ( f / f s ) $\eqref{discreteft}$$1/T \mathrm{rect}(t/T)$

$$\mathrm{sinc}(f/f_s).$$

Tenga en cuenta que la lógica está algo invertida del caso ideal: allí definimos nuestro objetivo, que era eliminar las imágenes, en el dominio de la frecuencia, y derivamos las consecuencias en el dominio del tiempo. Aquí definimos cómo reconstruir en el dominio del tiempo (ya que eso es lo que sabemos hacer), y derivamos las consecuencias en el dominio de la frecuencia.

Entonces, el resultado de la retención de orden cero es que, en lugar de la ventana rectangular en el dominio de frecuencia, terminamos con el sinc como una función de ventana. Por lo tanto:

• La respuesta de frecuencia ya no está limitada en banda. Más bien se descompone como , con las frecuencias superiores como imágenes de la señal original$1/f$
• en la banda base, la respuesta ya decae considerablemente, alcanzando aproximadamente -4 dB a $1/2 f_s$

En general, la retención de orden cero se usa para aproximar la función sinc del dominio del tiempo que aparece en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon . Al muestrear, el muestreo y retención similar es una solución técnica al problema de estimar el valor instantáneo de la señal, y no produce ningún error en sí mismo.

Tenga en cuenta que tampoco se pierde información en la reconstrucción, ya que siempre podemos filtrar las imágenes de alta frecuencia después de la retención inicial de orden cero. La pérdida de ganancia también puede compensarse con un filtro de sinc inverso, ya sea antes o después del DAC. Entonces, desde un punto de vista más práctico, la retención de orden cero se usa para construir una aproximación implementable inicial a la reconstrucción ideal, que luego puede mejorarse, si es necesario.

La retención de orden cero tiene el papel de aproximar las funciones delta y aparecen en el teorema de muestreo, lo que sea apropiado.$\mathrm{sinc}$

Para fines de claridad, considero un sistema ADC / DAC con una señal de voltaje. Sin embargo, todo lo siguiente se aplica a cualquier sistema de muestreo con el cambio apropiado de unidades. También supongo que la señal de entrada ya ha sido mágicamente limitada en banda para cumplir con el criterio de Nyquist.

Comience por el muestreo: idealmente, uno muestrearía el valor de la señal de entrada en un solo instante. Dado que los ADC reales necesitan una cantidad de tiempo finita para formar su aproximación, el voltaje instantáneo se aproxima por la muestra y retención (se aproxima instantáneamente por el tiempo de conmutación utilizado para cargar el condensador). Entonces, en esencia, la retención convierte el problema de aplicar un delta funcional a la señal en el problema de medir un voltaje constante.

Tenga en cuenta aquí que la diferencia entre la señal de entrada que se multiplica por un tren de impulsos o una retención de orden cero que se aplica en los mismos instantes es meramente una cuestión de interpretación, ya que el ADC, no obstante, almacenará solo los voltajes instantáneos retenidos. Uno puede ser reconstruido del otro. A los fines de esta respuesta, adoptaré la interpretación de que la señal muestreada es la señal de tiempo continuo de la forma dondeVrefes el voltaje de referencia del ADC / DAC,nes el número de bits,xkson las muestras representadas de la manera habitual como enteros, yΔtes el período de muestreo. Esta interpretación poco convencional tiene la ventaja de que estoy considerando, en todo momento, una señal de tiempo continuo, y el muestreo aquí simplemente significa representarla en términos de los númerosxk, que de hecho son las muestras en el sentido habitual.

$$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$$ $V_\mathrm{ref}$$n$$x_k$$\Delta t$$x_k$

En esta interpretación, el espectro de la señal en la banda base es exactamente el mismo que el de la señal original, y la convolución efectiva por el tren de impulsos tiene el efecto de replicar esa señal para hacer que el espectro sea periódico. Las réplicas se llaman imágenes del espectro. Que el factor de normalización es necesario puede verse, por ejemplo, considerando el DC-compensada de un pulso de 1 voltio de duración Δ t : su DC-offset define como la f = 0 componente z de la transformada de Fourier es decir x ( 0 ) = ∫ Δ t 0 1 V d t $\Delta t$$\Delta t$$f = 0$ Para obtener el mismo resultado de nuestra versión muestreada, debemos incluir el factor de Δ t . *

$$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$$ $\Delta t$

La reconstrucción ideal significa entonces construir una señal eléctrica que tenga el mismo espectro de banda base que esta señal, y que no tenga componentes en frecuencias fuera de este rango. Esto es lo mismo que hacer girar el tren de impulsos con la función apropiada. Esto es bastante difícil de hacer electrónicamente, por lo que s i n c a menudo se aproxima mediante una función rectangular, también conocida como retención de orden cero. En esencia, en cada función delta, el valor de la muestra se mantiene durante el período de muestreo.$\mathrm{sinc}$$\mathrm{sinc}$

Para ver qué consecuencias tiene esto para la señal reconstruida, observo que la retención es exactamente equivalente a convolucionar el tren de impulsos con la función rectangular La normalización de esta función rectangular se define al requerir que se reproduzca correctamente un voltaje constante, o en otras palabras, sise midióun voltajeV1durante el muestreo, se genera el mismo voltaje en la reconstrucción.

$$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$$ $V_1$

$$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$$ $1$$\mathrm{sinc}$$1/f$

$\mathrm{sinc}$$\mathrm{sinc}$$-6\mathrm{dB/octave}$$\mathrm{sinc}$

Tenga en cuenta también que un generador de impulsos imaginario que podría reproducir físicamente el tren de impulsos utilizado en el análisis generaría una cantidad infinita de energía en la reconstrucción de las imágenes. Esto también causaría algunos efectos peludos, como que un ADC que muestrea de nuevo la salida no vería nada, a menos que estuviera perfectamente sincronizado con el sistema original (principalmente muestrearía entre los impulsos). Esto muestra claramente que incluso si no podemos limitar la salida de la banda exactamente, siempre se necesita un límite de banda aproximado para regularizar la energía total de la señal, antes de que pueda convertirse en una representación física.

Para resumir:

• $\mathrm{sinc}$
• desde el punto de vista del dominio de frecuencia, es una aproximación al filtro de ladrillo que elimina imágenes y, por lo tanto, regula la cantidad infinita de energía presente en el tren de impulsos idealizado.

---

$\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$$1/\mathrm{s}$

Fourier Transform:

$$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$$

Inverse Fourier Transform:

$$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$$

Rectangular pulse function:

$$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

"Sinc" function ("sinus cardinalis"):

$$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$$

Define sampling frequency, $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ as the reciprocal of the sampling period $T$.

Note that:

$$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

Dirac comb (a.k.a. "sampling function" a.k.a. "Sha function"):

$$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$$

Dirac comb is periodic with period $T$. Fourier series:

$$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$$

Sampled continuous-time signal:

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

where $x[n] \triangleq x(nT)$.

This means that $x_\text{s}(t)$ is defined solely by the samples $x[n]$ and the sampling period $T$ and totally loses any information of the values of $x(t)$ for times in between sampling instances. $x[n]$ is a discrete sequence of numbers and is a sorta DSP shorthand notation for $x_n$. While it is true that $x_\text{s}(t) = 0$ for $nT < t < (n+1)T$, the value of $x[n]$ for any $n$ not an integer is undefined.

N.B.: The discrete signal $x[n]$ and all discrete-time operations on it, like the $\mathcal{Z}$-Transform, the Discrete-Time Fourier Transform (DTFT), the Discrete Fourier Transform (DFT), are "agnostic" regarding the sampling frequency or the sampling period $T$. Once you're in the discrete-time $x[n]$ domain, you do not know (or care) about $T$. It is only with the Nyquist-Shannon Sampling and Reconstruction Theorem that $x[n]$ and $T$ are put together.

The Fourier Transform of $x_\text{s}(t)$ is

$$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$$

Important note about scaling: The sampling function $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ and the sampled signal $x_\text{s}(t)$ has a factor of $T$ that you will not see in nearly all textbooks. That is a pedagogical mistake of the authors of these of these textbooks for multiple (related) reasons:

1. First, leaving out the $T$ changes the dimension of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ from the dimension of the signal getting sampled $x(t)$.
2. That $T$ factor will be needed somewhere in the signal chain. These textbooks that leave it out of the sampling function end up putting it into the reconstruction part of the Sampling Theorem, usually as the passband gain of the reconstruction filter. That is dimensionally confusing. Someone might reasonably ask: "How do I design a brickwall LPF with passband gain of $T$?"
3. As will be seen below, leaving the $T$ out here results in a similar scaling error for the net transfer function and net frequency response of the Zero-order Hold (ZOH). All textbooks on digital (and hybrid) control systems that I have seen make this mistake and it is a serious pedagogical error.

Note that the DTFT of $x[n]$ and the Fourier Transform of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ are, with proper scaling, virtually identical:

DTFT:

$$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$$

It can be shown that

$$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$$

---

The above math is true whether $x(t)$ is "properly sampled" or not. $x(t)$ is "properly sampled" if $x(t)$ can be fully recovered from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period. The Sampling Theorem tells us what is necessary to recover or reconstruct $x(t)$ from $x[n]$ and $T$.

If $x(t)$ is bandlimited to some bandlimit $B$, that means

$$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$$

Consider the spectrum of the sampled signal made up of shifted images of the original:

$$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$$

The original spectrum $X(j 2 \pi f)$ can be recovered from the sampled spectrum $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ if none of the shifted images, $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$, overlap their adjacent neighbors. This means that the right edge of the $k$-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$) must be entirely to the left of the left edge of the ($k+1$)-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$). Restated mathematically,

$$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$$

which is equivalent to

$$f_\text{s} > 2B$$

If we sample at a sampling rate that exceeds twice the bandwidth, none of the images overlap, the original spectrum, $X(j 2 \pi f)$, which is the image where $k=0$ can be extracted from $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ with a brickwall low-pass filter that keeps the original image (where $k=0$) unscaled and discards all of the other images. That means it multiplies the original image by 1 and multiplies all of the other images by 0.

$$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$$

The reconstruction filter is

$$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

and has acausal impulse response:

$$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$$

This filtering operation, expressed as multiplication in the frequency domain is equivalent to convolution in the time domain:

$$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$$

That spells out explicitly how the original $x(t)$ is reconstructed from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period.

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So what is output from a practical Digital-to-Analog Converter (DAC) is neither

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$$

which needs no additional treatment to recover $x(t)$, nor

$$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$$

which, with an ideal brickwall LPF recovers $x(t)$ by isolating and retaining the baseband image and discarding all of the other images.

What comes out of a conventional DAC, if there is no processing or scaling done to the digitized signal, is the value $x[n]$ held at a constant value until the next sample is to be output. This results in a piecewise-constant function:

$$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Note the delay of $\frac{1}{2}$ sample period applied to the $\operatorname{rect}(\cdot)$ function. This makes it causal. It means simply that

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$$

Stated differently

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$$

where $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ is the floor function, defined to be the largest integer not exceeding $u$.

This DAC output is directly modeled as a linear time-invariant system (LTI) or filter that accepts the ideally sampled signal $x_\text{s}(t)$ and for each impulse in the ideally sampled signal, outputs this impulse response:

$$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Plugging in to check this...

$$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$$

The DAC output $x_\text{DAC}(t)$, as the output of an LTI system with impulse response $h_\text{ZOH}(t)$ agrees with the piecewise constant construction above. And the input to this LTI system is the sampled signal $x_\text{s}(t)$ judiciously scaled so that the baseband image of $x_\text{s}(t)$ is exactly the same as the spectrum of the original signal being sampled $x(t)$. That is

$$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$$

The original signal spectrum is the same as the sampled spectrum, but with all images, that had appeared due to sampling, discarded.

The transfer function of this LTI system, which we call the Zero-order hold (ZOH), is the Laplace Transform of the impulse response:

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$$

The frequency response is obtained by substituting $j 2 \pi f \rightarrow s$

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$$

This indicates a linear phase filter with constant delay of one-half sample period, $\frac{T}{2}$, and with gain that decreases as frequency $f$ increases. This is a mild low-pass filter effect. At DC, $f=0$, the gain is 0 dB and at Nyquist, $f=\frac{f_\text{s}}{2}$ the gain is -3.9224 dB. So the baseband image has some of the high frequency components reduced a little.

As with the sampled signal $x_\text{s}(t)$, there are images in sampled signal $x_\text{DAC}(t)$ at integer multiples of the sampling frequency, but those images are significantly reduced in amplitude (compared to the baseband image) because $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ passes through zero when $f = k\cdot f_\text{s}$ for integer $k$ that is not 0, which is right in the middle of those images.

Concluding:

1. The Zero-order hold (ZOH) is a linear time-invariant model of the signal reconstruction done by a practical Digital-to-Analog converter (DAC) that holds the output constant at the sample value, $x[n]$, until updated by the next sample $x[n+1]$.

2. Contrary to the common misconception, the ZOH has nothing to do with the sample-and-hold circuit (S/H) one might find preceding an Analog-to-Digital converter (ADC). As long as the DAC holds the output to a constant value over each sampling period, it doesn't matter if the ADC has a S/H or not, the ZOH effect remains. If the DAC outputs something other than the piecewise-constant output (such as a sequence of narrow pulses intended to approximate dirac impulses) depicted above as $x_\text{DAC}(t)$, then the ZOH effect is not present (something else is, instead) whether there is a S/H circuit preceding the ADC or not.

3. The net transfer function of the ZOH is

   $$H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$$ and the net frequency response of the ZOH is $$H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$$ Many textbooks leave out the $T$ factor in the denominator of the transfer function and that is a mistake.

4. The ZOH reduces the images of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ significantly, but does not eliminate them. To eliminate the images, one needs a good low-pass filter as before. Brickwall LPFs are an idealization. A practical LPF may also attenuate the baseband image (that we want to keep) at high frequencies, and that attenuation must be accounted for as with the attenuation that results from the ZOH (which is less than 3.9224 dB attenuation). The ZOH also delays the signal by one-half sample period, which may have to be taken in consideration (along with the delay of the anti-imaging LPF), particularly if the ZOH is in a feedback loop.