Calcular el número mínimo de resistencias de 120Ω para obtener 80Ω de resistencia?

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Recientemente tuve que hacer una prueba en electrónica básica. No respondí bien una pregunta, pero no entiendo bien por qué.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Las posibles respuestas a esta pregunta son 2, 3, 4 and 6. La única respuesta que se me ocurre es 6, con las resistencias dispuestas como se ve a continuación. Pero 6no es la respuesta correcta.

Pregunta:

¿Cuántas resistencias se requieren y para organizarlas?

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Solo conozco los conceptos básicos de la electrónica, así que espero que mis pensamientos sean correctos.

resistors

— Marius Schär
fuente

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@Autistic ¿120 y 120 en paralelo no serían 60?

— Marius Schär

3

quizás Autistic sea Artistic

— Marla

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El numero es tres. Deducir la combinación se deja como un ejercicio para el lector ... pero hay muchas posibilidades.

— Chris Stratton

2

Este es el tipo de problema que puede vencernos a todos. A veces la solución más simple se encuentra frente a nosotros. Animo preguntas como esta. Realmente disfruto viendo en una entrevista este tipo de preguntas. Martin, no te sientas mal. . Yo mismo me he perdido en este tipo. Nos encerramos en nuestros propios límites

— Marla

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Quería decir 120 en paralelo con 2 resistencias de 120 ohmios de la serie.

— Autista

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120 || (120 + 120) Si dos 120 en paralelo dan 60, quieres que una de las ramas esté un poco más arriba, así que ... eso es lo siguiente que debes intentar.

Y el método es cierto en general para obtener una resistencia de 2/3 con solo un bin del mismo tipo. Y, en general, para resolver problemas como este, vale la pena recordar que la resistencia equivalente de dos resistencias paralelas es menor que la de cualquiera de las ramas. También puede obtener 3/4 (por ejemplo, 90) al agregar uno más a una rama.

NB: Gracias al artículo de Massimo Ortolano , ahora sé que lo que he hecho arriba siguiendo solo la intuición es que básicamente seguí la ruta de búsqueda indicada a continuación en el árbol Stern-Brocot :

— Efervescencia
fuente

Wow, gracias por eso! Sería realmente útil si enseñaran este método simple en la clase ..

— Marius Schär

10

El objetivo de la educación es a menudo desencadenar el descubrimiento, no simplemente contarte cosas.

— Chris Stratton

3

También codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz el

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Se puede encontrar una solución directa mediante la aplicación de fracciones continuas .

Si lo que tienes es 120Ω y lo que quieres es 80Ω, escribe la fracción:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Como la parte entera es cero, comenzará colocando resistencias en paralelo. Invierta la parte fraccional:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Esto le indica que tendrá 1 resistencia en paralelo con cierto número de resistencias en serie. Invierta la parte fraccional de nuevo:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Esto le dice que necesita 2 resistencias en serie. Como no hay una parte fraccional en este punto, ya está.

La respuesta es un total de 3 resistencias.

— Dave Tweed
fuente

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Combinaciones de resistencias por fracciones continuas ... ordenadas.

— Jasen

1

¿Crees que este algoritmo da la solución mínima [en número de resistencias] en general? Parece que hay un artículo reciente sobre el tema, pero parece ser una revisión orientada a la educación. No puedo ver mención de minimidad.

— Fizz

2

También math.stackexchange.com/questions/14645/… ¡ Tenga en cuenta que la respuesta aceptada es realmente incorrecta!

— Fizz

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@RespawnedFluff: no, generalmente, no ofrece una solución mínima. El uso de la expansión de fracción continua produce una solución compuesta solo de combinaciones paralelas y en serie, pero, en general, se pueden encontrar soluciones con menos resistencias teniendo en cuenta también las resistencias conectadas en puente. Se puede demostrar que, para redes planas , el problema es equivalente al de llenar rectángulos con cuadrados de lados enteros . Si luego se consideran redes no planas, probablemente se puedan encontrar soluciones con aún menos elementos.

— Massimo Ortolano

3

Con el propósito de encontrar [mejores] palabras clave, la solución que Dave indicó se basa en la aproximación del árbol Stern-Brocot de un número real. Descubrí esto leyendo el artículo de Massimo Ortolano, que también está disponible gratuitamente en arxiv , por cierto.

— Fizz

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Puede cambiar su solución intercambiando serial y paralelo:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Luego puede agrupar R2, R3, R5 y R6 en un solo grupo 2x2:

esquemático

^{simular este circuito}

$120\Omega$ $120\Omega$

esquemático

^{simular este circuito}

— monstruo de trinquete
fuente

1

Esto es lo mismo que el usuario 92407 dijo 3 horas antes, aunque con un diagrama.

— Dave Tweed

1

Sin embargo, encuentro útil la adición; en realidad está utilizando el problema de mosaico geométrico equivalente indicado por Massimo Ortolano . Las cuatro resistencias que se pueden reemplazar forman un cuadrado [más grande].

— Fizz

7

Tome su solución pero sin un punto central en el medio: puede reorganizar esto como tres secciones paralelas de 120 + 120 Ohm cada una (conectar los puntos medios no hace la diferencia ya que todos están en el mismo voltaje). Ahora dos de las tres secciones paralelas de 120 + 120 Ohm se combinan en 120 Ohm nuevamente, por lo que puede reemplazar esas 4 resistencias de los dos grupos paralelos con una sola, dejando solo una resistencia de 120 Ohm paralela a 120 + 120 Ohm.

Hay una gran cantidad de soluciones que prueban la exactitud de esta solución una vez que la tiene. Pero esta reorganización muestra cómo encontrarla sin volver al ensayo y error matemático.

— usuario92407
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1

En realidad, implica prueba y error [en general]. No existe una solución conocida para el problema de colocar en mosaico mínimamente un rectángulo con cuadrados enteros que no implique una búsqueda exhaustiva. Sin embargo, hay algunas heurísticas que eliminan el árbol de soluciones, pero no garantizan una solución mínima.

— Fizz

4

Desarrollando la respuesta de @ RespawnedFluff, una forma de encontrar esto es pensar de la siguiente manera:

Qué resistencias tengo, ok 120.
¿Qué necesito hacer, 80
¿Qué ecuaciones sabemos? Bueno, las dos resistencias en serie o en paralelo son los puntos de partida más simples. Claramente, la serie no ayuda de inmediato, eso aumentaría la resistencia, no la reduciría. Entonces tendremos que intentarlo en paralelo. Conocemos las ecuaciones:

\frac{1}{R_{pags}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Entonces quizás comencemos con eso:

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

Entonces, ¿puedes encontrar alguna combinación que se adapte? Bueno, empieza con $R_1=120$ y luego ver qué valor $R_2$ necesita ser. ¿Puedes hacer ese valor fácilmente? En este caso sí, muy bien.
Para otros valores, si no puede obtener un valor de inmediato, es posible que deba probar el mismo enfoque que el anterior de forma iterativa para encontrar el valor para $R_2$ . Si eso no funciona, también puede intentar cambiar $R_1$ - tal vez dos en serie o en paralelo, y luego intente nuevamente para $R_2$ .

Este enfoque es bastante iterativo, pero en este caso habría encontrado rápidamente la respuesta que obtuvo (usando 6 resistencias) y también la respuesta que obtuvo @RespawnedFluff (usando 3 resistencias).

Si estaba tratando de aumentar la resistencia (es decir, la resistencia requerida es mayor que su valor disponible), básicamente hace lo mismo, pero comienza con una mayor resistencia disponible, o divide la resistencia más grande en trozos en serie y resuelve por ellos ( por ejemplo, si quisieras $180\Omega$ , podrías elegir un trozo de $120\Omega$ y $60\Omega$ )

Quizás se pregunte cómo el método habría llegado a su respuesta, dado que el suyo tiene 3 ramas paralelas, mientras que este enfoque usa dos. Bueno, al calcular $R_2$ arriba, iterativamente, presentarías $R_2$ siendo una rama paralela, que topológicamente es lo mismo que si hubiera 3 ramas para empezar.

— Tom Carpenter
fuente

Corrigió mi respuesta. Había estropeado totalmente mi explicación.

— Tom Carpenter

Si una rama de resistencia es fija, esto es fácil de resolver (o determinar que no hay una solución [entera]). Todavía no estoy seguro de cómo resolver, incluso con dos ramas, no importa en general. Es una ecuación de diofantina más complicada.

— Fizz

El problema es probablemente NP-complete en lo que respecta a la enumeración: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz

1

Resistencia básica en serie y resistencia en lógica paralela. Muy simple..

Sabemos que la salida es de 80Ω, por lo que resolver el problema es fácil. Pruebe la fórmula para resistencia paralela:

\frac{1}{R pags} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$ Por lo tanto..

R pags = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$ Aquí pon

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$ .

Ahora, como sabemos, tenemos resistencias de solo 120Ω. Poner $R1 = 120\Omega$

Resolviendo ... obtendrás $R2 = 240\Omega$ .

Pero no podemos usar una resistencia de 240Ω aquí, ya que se dice que solo tenemos resistencias de 120Ω. Entonces, en lugar de 240Ω, usaremos 120Ω + 120Ω (en serie) en paralelo con una sola resistencia de 120Ω.

— Rohit Dani
fuente

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Esto es lo mismo que dijo Tom Carpenter 11 horas antes. Intentemos evitar duplicar respuestas.

— Dave Tweed