Análisis de filtro de muesca activa Twin-T

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¿Podría alguien darme una pista para analizar el filtro de muesca activa Twin-T? Intenté una transformación delta-estrella, seguida de un análisis nodal, pero terminé con ecuaciones conflictivas. Por ejemplo, mire la Figura 1 de la nota de aplicación de Texas Instruments " Una colección de circuitos de audio, parte 2 ":

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En el ejemplo más general que estoy estudiando, elimino C4 / C5 y R6 / R7 (y ese Vcc) y trato los componentes T pasivos como conductancias coincidentes de la siguiente manera:

R1 y R2 se convierten en Y1, R3 se convierte en 2Y1, C1 y C2 se convierten en Y2, C3 se convierte en divisor de voltaje genérico 2Y2, R4 y R5 con resistencias R1 y R2

audio operational-amplifier filter

— Jorge
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Esto suena como una pregunta que dsp.stackexchange.com cree que debería estar en el tema allí. ¿Qué piensan los demás?

— Kellenjb

@Kellenjb: aquí también se trata el tema, pero podría obtener una mejor respuesta allí. Si los chicos de OP o DSP quieren que se migre, podemos hacerlo, ciertamente podría ocupar un poco más de atención. Alternativamente, dibuje un esquema y cargue la imagen para colocar esto en la página principal, donde debería llamar más la atención ... no estoy seguro de cómo se perdió la primera vez.

— Kevin Vermeer

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La transformación Delta-Star se puede utilizar para analizar la red Twin-T mediante el siguiente procedimiento:

Las dos redes T se pueden convertir en redes gemelas Delta en paralelo:
Condensar estas dos redes Delta en una sola red Delta
Convierta la red Delta resultante nuevamente en una red T.
Para ver el comportamiento de la muesca del gemelo T pasivo, suponga que el nodo 2 está conectado a tierra y trate la red Delta que obtuvo en el paso 3 como un divisor de voltaje.

$H (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$
$v_{out} = α \cdot v_{out} + H (s) (v_{in} - α \cdot v_{out})$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ $H (s) = Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ $G (s) = \frac{1}{(1 - α) \frac{1}{H (s)} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ $\alpha=0$ $G(s)=H(s)$ $\alpha=1$

G (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} (α - 1) + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$

$\alpha$

El álgebra de las diversas transformaciones es un poco tedioso. Usé Mathematica para hacerlo:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— nibot
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Aquí hay una manera de hacerlo: el filtro de muesca con retroalimentación es un poco más complicado, por lo que por el momento solo describiré cómo hacer la forma general del filtro de muesca doble T:

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Para resolver el circuito utilizando un análisis nodal, lo que debe hacer es convertir la fuente de voltaje Vin en su fuente Norton equivalente; sin embargo, es un poco complicado porque debe convertir Vin en dos fuentes Norton para tener en cuenta R1 y C1 y luego reorganizar el circuito para compensar . Me gusta esto:

versión fuente actual

Los puntos 1, 2 y 3 se muestran en sus nuevas posiciones en el circuito equivalente. Entonces debería poder escribir ecuaciones KCL mediante inspección y crear una matriz aumentada de 3 por 3 en las incógnitas V1, V2 y V3. Luego puede resolver V2 / Vo en términos de Vin utilizando la regla de Cramer.

$Vo*\alpha$

Editar: primer diagrama corregido

— Bitrex
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