Postes y parcelas Bode

Tengo tres preguntas que me han estado preocupando durante mucho tiempo:

1. Decimos que, en un diagrama de Bode, hay una caída en la ganancia de 20 dB por década cada vez que se encuentra un polo. Pero, ¿no se definen los polos como los valores de que hacen que la función de transferencia sea infinita? Entonces, ¿por qué la ganancia no aumenta en este punto en lugar de disminuir?$s$

2. Físicamente, ¿qué sucede cuando alimentamos un sistema con una frecuencia de polo?

3. Además, considere una función de transferencia $1/(s+2)$ . El sistema tiene polo en $s=(-2+j0)$ . Es decir, para el polo, y . Pero cuando aplicamos una señal sinusoidal a su entrada y dibujamos el diagrama de Bode, ¿por qué decimos que hay un polo a 2 rad / seg (aunque, para el polo, y )?ω = 0 ω = 0 σ = - $\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$$\sigma =-2$

Bode plot no es un gráfico que traza la función de transferencia ( ) contra s . H ( s ) es una función compleja y su diagrama de magnitud en realidad representa una superficie en un sistema de coordenadas cartesianas. Y esta superficie tendrá picos que van al infinito en cada polo como se muestra en la figura:$H(s)$$s$$H(s)$

El diagrama de Bode se obtiene sustituyendo primero en H ( s ) y luego representándolo en forma polar H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) da el diagrama de bode de magnitud y ϕ ( ω ) da el diagrama de bode de fase.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

El diagrama de magnitud de Bode es la aproximación asintótica de la magnitud de la función de transferencia ( ) frente al logaritmo de frecuencia en radianes / seg ( log 10 | ω | ) con | H ( s ) | (expresado en dB) en el eje y y log 10 | ω | en el eje x.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Llegando a las preguntas:

1. En los polos, la superficie compleja de picos hasta el infinito no | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Cuando un sistema se alimenta con frecuencia de polo, la salida de copatrocinador tendrá la misma frecuencia pero la amplitud y la fase cambiarán. El valor puede determinarse sustituyendo la frecuencia en radianes / seg en y ϕ ( ω ) respectivamente.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Un polo a -2 rad / seg y 2 rad / seg tiene el mismo efecto en . Y nuestro interés está en la respuesta de frecuencia. Entonces, solo necesitamos una parte positiva.$|H(\omega)|$

Cuando trato de entender las funciones de transferencia, creo que la "analogía de la lámina de goma" es muy útil. Imagine una lámina de goma elástica que cubre el plano complejo , e imagine que en cada cero de la función de transferencia la lámina se pega al suelo, y en cada poste hay un poste delgado literal que empuja la lámina de goma hacia arriba. La magnitud de la respuesta de frecuencia es la altura de la lámina de goma a lo largo del eje j ω .$s$$j\omega$

1. De la analogía anterior, por supuesto, la ganancia sube hacia el polo. Pero alejándose del polo, la contribución del polo hace que la función de transferencia baje (por ejemplo, va hacia el siguiente cero). Imagine el sistema simple que dio como ejemplo en su tercera pregunta. Tiene un polo de valor real en y, debido a este polo, también tiene un cero en s 0 = ∞ . Entonces, alejándose del poste con frecuencia creciente, la función de transferencia se reduce porque la lámina de goma se pega al suelo al infinito. Matemáticamente, esto también es fácil de ver: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ In decibels we get $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ For $\omega\gg 2$ the second term on the right-hand side of (1) can be approximated by $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ which is a straight line with a slope of $-20\,\text{dB}$ per decade.

2. When you excite a system with a signal corresponding to one of its poles, then this input signal is "amplified" compared to input signals with other frequencies. Note, however, that for a stable system the output signal will always decay. E.g. if you excite the system with transfer function $H(s)=\frac{1}{s+2}$ with an input signal $x(t)=e^{-2t}$, then the output will be $y(t)=te^{-2t}$, where the factor $t$ corresponds to the system's "amplification" of the input signal. However, the exponential factor will make the signal approach $0$ for large values of $t$.

3. In short, we don't say that there's a pole at $2$ rad/s, because there isn't. What is indeed the case is that the cut-off frequency is determined by the real part of the pole, i.e. the starting point of the line with negative slope in the Bode plot is determined by the value $2$. This is the example I gave in point 1 above, where the straight line approximation with $-20$ dB per decade is valid for $\omega\gg 2$. The value $2$ is not determined by the pole frequency (which is zero) but by the real part of the pole.

The graph shows the difference between the natural frequency in the complex $s$-plane (infinite) and the corresponding magnitude peak along the $j\omega$ axis which can be observed during measurements: The graph belongs to a natural frequency of $\omega_p=1000$ rad/s and a pole quality factor $Q_p=1.3$ (which is a measure of the observable gain peaking). This plot visualizes a 2nd-order Chebyshev characteristics with 3 dB ripple in the passband.

The "s" in your equations is the constant in the function exp(s*t). So, when s is a real number, this time function is an exponentially growing or falling function. Your example with s=-2 is an exponentially falling function. For any pole "number", the output will grow when you apply an input at that "number". If you apply an exponentially falling signal to your example circuit, the output signal will go to infinity. (Note, however, that it is not possible to generate a signal that is always exponentially falling, because such a signal is very large at times in the past). When you talk of frequencies like 2 radians/sec, you are speaking of poles at j*2, not 2, so those signals are sinusoidal. It is possible to generate signals that are sine waves (at least for a pretty long time). You will get infinities out if you apply this sine wave signal to a system with a pole at +-j*2, but not if you apply it to a system with a pole at -2.